Реферат
Введение 3
1 Основные определения и теоремы 9
1.1 Основные обозначения и функциональные пространства 9
1.2 Основные неравенства 11
1.3 Принцип сжимающих отображений 12
1.4 Основные результаты для уравнений соболевского типа 13
2 Обратная задача для уравнения соболевского типа 19
2.1 Постановка задачи 19
2.2 Сведение обратной задачи к операторному уравнению для неизвестной
функции f (t) 20
2.3 Теорема существования и единственности решения обратной задачи 24
Заключение 45
Список использованных источников 46
Появление новых математических моделей, учитывающих внутренние взаимодействия в сложных средах, дало толчок развитию качественной теории обратных и нелокальных задач для уравнений диффузии и фильтрации. К таким уравнениям относятся параболические и связанные с ними стационарные уравнения и системы, а также уравнения, неразрешенные относительно старшей производной по времени, высшего порядка (третьего и выше) с производной по времени первого порядка, которые можно записать в виде
(Au)t + Ви = f, (1)
где A и B - вообще говоря, нелинейные дифференциальные операторы по пространственным переменным четного порядка. Уравнения (1) и (2) с линейными операторами относятся к классу так называемых простых уравнений соболевского типа.
Такие уравнения возникают при математическом описании многих физических процессов. Например, широкое приложение в моделировании имеет линейное уравнение
ut — T]Aut — кАи = f, описывающее нестационарный процесс фильтрации слабо сжимаемой жидкости в трещиноватой среде, где А - оператор Лапласа [2 - 4]. Различные уравнения и системы такого типа моделируют также процессы теплопереноса в гетерогенных средах [18].
Актуальность темы исследования. Коэффициенты уравнений соболевского типа характеризуют физические свойства среды, которые трудно определить экспериментально. Так свойства и структура трещиноватой среды (например, гидравлические свойства и проницаемость) могут меняться со временем и зависят от естественных условий залегания пласта или грунта, которые практически невозможно воссоздать в лабораторных условиях с необходимой точностью [2 - 3]. Поэтому параметры среды следует определять с помощью математических моделей на основе дополнительной информации о поведении среды в естественных условиях, а не на основе лабораторных экспериментов.
Таким образом, широкие приложения и трудности определения физических параметров сложных сред приводят к необходимости постановки и изучения различных краевых задач для уравнений соболевского типа.
В настоящей работе рассматривается следующая обратная задача для уравнений соболевского типа. При заданных константах ц , к и функциях д ( t,x) ,1 0(x) ,/? ( t,x) найти пару функций и ( t,x) и f ( t) , удовлетворяющую уравнению
Щ - gLut - кки = f(t)g(t, x), (2)
в цилиндре Qт = ( 0 , Т) X П , краевым условиям
(и - дЛи) 11=0 = 110 (х), х е (1, (3)
udsl = 0(t,x)dsb t е [О, Т] (4)
и условию переопределения
f г dwt dw)
]д^г + к— a(t,x)ds = (p(t), J I on on)
дП
где QcRn- ограниченная область, a(t,x),p(t)-заданные функции. Основным результатом работы является теорема существования и единственности сильного обобщенного решения данной задачи. Для доказательства теоремы используется метод, который разработан в [7, 22, 23] на основе идеи сведения обратной задачи к операторному уравнению для неизвестного коэффициента [11]....
В настоящей работе рассмотрена обратная задача отыскания неизвестной правой части уравнения соболевского типа по дополнительной интегральной информацией решения уравнения на границе области. Основным
результатом работы является теорема существования и единственности сильного обобщенного решения данной задачи. Для доказательства теоремы используется метод, который разработан на основе идеи сведения обратной задачи к операторному уравнению для неизвестного коэффициента. В работе
приведен пример обратной задачи исходные данные, которые удовлетворяют
всем условиям теоремы.
Обратные задачи отыскания правых частей дифференциальных уравнений сравнительно просты. Однако, изучение таких задач представляет теоритический интерес с точки зрения разработки методов исследования новых
обратных задач.
