Инварианты кривых

Рассмотрим произвольное слово над порождающими Л^ с индексами разной четности. Его можно изобразить с помощью 2т — 1 вертикальных прядей, вместе с горизонтальными хордами, каждая на своем уровне. Каждая хорда оснащена знаком, и соединяет две пряди. Хорда, соединяющая пряди i, j, и имеющая знак ± на уровне k отвечает k-му символу в слове w, равному Л?1. На рисунке хорды изображаются за прядьми. У таком диаграммы можно так же рассмотреть короткое замыкание, которое является диаграммой застежек, скелетом которой являются соединенные пряди, а порядок на хордах определяется начальной высотой. Интуитивно это равносильно просмотру замыкания "сверху":
Наглядно получается, что короткое замыкание слова с генераторами Aij с индексами разной четности есть причесанная диаграмма короткого замыкания соответствующей косы.
Доказательство теоремы 3.2. Из предыдущего параграфа имеем, что достаточно доказать, что каждый узел может быть представлен в виде короткого замыкания причесанной крашеной косы, состоящей исключительно из порождающих Aij с i нечетным и j четным. Назовем все остальные порождающие (Aij с j нечетным и i четным) неподходящими.
Доказательство теоремы будет заключаться в рассмотрении причесанную косу а с k неподходящими порождающими, и превращении ее в причесанную косу с k — 1 неподходящими порождающими. Введем эндоморфизм 0k: Р^ ^ Р^, добавляющий две вертикальные пряди между k-й и k + 1-й прядями. Заметим, что Aij неподходящая тогда и только тогда, когда 0k(Aij) неподходящая. Рассмотрим представление а = bA±jc, где b не содержит не подходящих порождающих, Aij неподходящая, а c состоит из k — 1 неподходящей порождающих. Имеем 6 случаев, три способа выбрать неподходящие четности i, j, и два способа выбрать знак. Для каждого будем делать следующие преобразования:
Подобные доказательства легче воспринимать визуально, ниже репрезентация этих движений для b = c = 1:

Рис. 5: Разрешения для b = c = 1

Первые 4 трансформации сохраняют причесанность кос, последние две в формулировке не обязаны, так как центральные две порождающие могут образовывать инверсию. Тем не менее, они в любом случае коммутируют, так что эти операции доказывают теорему 3.2.
■
Доказательство теоремы 3.4. О каждой диаграмме застежек можно думать как о замыкании крашеной косы. Две косы реализуют один и тот же узел под действием короткого замыкания тогда и только тогда, когда эти косы получаются друг из друга конечным числом преобразований двух типов, описанных в 3.3. Коса транслируется в диаграмму застежек заменой каждой порождающей на одну или две хорды, в соответствии с четностью i, j, следующим образом:


Выбор хорд объясняется разрешением неподходящих порождающих в доказательстве теоремы 3.2, см. рис. 5.
Отсюда видно, что движения первого типа разрешаются движением С1. Для движений второго типа достаточно рассматривать е = 1 для нечетных r и е = —1 для четных r. Эти движения транслируются в движения С2 на диаграммах застежек.
Рассмотрим теперь отношения Margalit-McCammond в круппе крашеных кос.
• Отношение MM1 транслируется в движение A.
• В отношении MM2 имеем 8 случаев в зависимости от четностей i, r, s. Дабы успростить перебор, будем рассматривать отношения
AirA-rsAis = AisAirArs = ArsAisAir
Если хотя бы два из i, r, s нечетные, и обратные отношения
—1 —1 —1 —1 —1 —1 —1 —1 —1
Ais Ars Air Ars Air Ais Air Ais Ars ,
если хотя бы два из i, r, s четные. Отношения MM2 в таком случае транслируются в следующие движения, которые обозначим как M1, M2, если один из i, r, s четный:


В случае, когда все три i, r, s четные, получается движения M3:


Обратные отношения превращаются в движения M*, M2, M3.
• Для отношения MM3 имеем 16 различных случаев в зависимости от четностей i, j, r,s. Отношение можно упростить с помощью следующего, эквивалентного, отношения:
£ 5а —1 5а —1 £
Aij(AirArs Air ) (AirArs Air )Aij,
где
- £ = 1 если i, j одной четности, и s = —1 иначе;
- 5 = 1 если i, r одной четности, и 5 = —1 иначе;
- а = 1 если s нечетно, и а = —1 иначе;
Если i нечетно, r четно, это отношение транслируется в движения M4:

Если оба i, r нечетны, отношение транслируется в движение M5, а если 5 четно, движения транслируются в M5 c дорисованной хордой:


Таким образом, мы доказали, что любые две диаграммы застежек, реализующие эквивалентные узлы, получаются друг из друга конечным числом операций A, B, C1, C2, M1 — M5, M*, M^. Осталось показать, как вывести M1 — M5 и их отражения из A, B, C1, C2, C4. Вывод для M1, M2 и их отражений получается прямолинейно:


Для движения M3 введем промежуточное движение D1:

Отражением диаграммы можно получить движение Df. Отсюда имеем вывод M3, M4:


Вывод M4 получается отражением преобразований для M4, для этого нужен вывод С%:


Для движения M5 потребуются дополнительные движения D2, D3 (отраженные версии получаются отражением диаграмм):

Отсюда можно получить М5(с, соответственно, отражение), следующей диаграммой:


На этом доказательство теоремы завершается


Купить