Тема: Инварианты кривых

В данной работе представлен реферат по двумя статьям: [1] и [2].
В первой построен полный инвариант дудлов на 2-сфере со значениями в суммах хордовых диаграм определенного вида с коэффициентами. Более того, в процессе будет доказано, что коэффициенты при диграммах на не более чем n хордах является инвариантами порядка не более чем 2n.
Во второй статье представлен способ кодирования узлов с помощью новых диаграмм, называемых диаграммами застежек. Они выполняют роль чертежа, по которому можно построить узел, используя импровизированую застежку вместо перекрестков. Далее, на данных диаграммах вводятся отношения эквивалентности, классы эквивалентности которых совпадают с классами эквивалентности порождаемых ими кривых. Вместе с этим данные диаграммы порождают достаточно простые поверхности Зейферта для узлов и ведут к явным формулам для многочленов Алекандра-Конвея. Далее, показано как можно получить инварианты Васильева используя подсчет поддиаграмм на диаграммах застежек.
Купить

Рассмотрим произвольное слово над порождающими Л^ с индексами разной четности. Его можно изобразить с помощью 2т — 1 вертикальных прядей, вместе с горизонтальными хордами, каждая на своем уровне. Каждая хорда оснащена знаком, и соединяет две пряди. Хорда, соединяющая пряди i, j, и имеющая знак ± на уровне k отвечает k-му символу в слове w, равному Л?1. На рисунке хорды изображаются за прядьми. У таком диаграммы можно так же рассмотреть короткое замыкание, которое является диаграммой застежек, скелетом которой являются соединенные пряди, а порядок на хордах определяется начальной высотой. Интуитивно это равносильно просмотру замыкания "сверху":
Наглядно получается, что короткое замыкание слова с генераторами Aij с индексами разной четности есть причесанная диаграмма короткого замыкания соответствующей косы.
Доказательство теоремы 3.2. Из предыдущего параграфа имеем, что достаточно доказать, что каждый узел может быть представлен в виде короткого замыкания причесанной крашеной косы, состоящей исключительно из порождающих Aij с i нечетным и j четным. Назовем все остальные порождающие (Aij с j нечетным и i четным) неподходящими.
Доказательство теоремы будет заключаться в рассмотрении причесанную косу а с k неподходящими порождающими, и превращении ее в причесанную косу с k — 1 неподходящими порождающими. Введем эндоморфизм 0k: Р^ ^ Р^, добавляющий две вертикальные пряди между k-й и k + 1-й прядями. Заметим, что Aij неподходящая тогда и только тогда, когда 0k(Aij) неподходящая. Рассмотрим представление а = bA±jc, где b не содержит не подходящих порождающих, Aij неподходящая, а c состоит из k — 1 неподходящей порождающих. Имеем 6 случаев, три способа выбрать неподходящие четности i, j, и два способа выбрать знак. Для каждого будем делать следующие преобразования:
Подобные доказательства легче воспринимать визуально, ниже репрезентация этих движений для b = c = 1:

Рис. 5: Разрешения для b = c = 1

Первые 4 трансформации сохраняют причесанность кос, последние две в формулировке не обязаны, так как центральные две порождающие могут образовывать инверсию. Тем не менее, они в любом случае коммутируют, так что эти операции доказывают теорему 3.2.
■
Доказательство теоремы 3.4. О каждой диаграмме застежек можно думать как о замыкании крашеной косы. Две косы реализуют один и тот же узел под действием короткого замыкания тогда и только тогда, когда эти косы получаются друг из друга конечным числом преобразований двух типов, описанных в 3.3. Коса транслируется в диаграмму застежек заменой каждой порождающей на одну или две хорды, в соответствии с четностью i, j, следующим образом:


Выбор хорд объясняется разрешением неподходящих порождающих в доказательстве теоремы 3.2, см. рис. 5.
Отсюда видно, что движения первого типа разрешаются движением С1. Для движений второго типа достаточно рассматривать е = 1 для нечетных r и е = —1 для четных r. Эти движения транслируются в движения С2 на диаграммах застежек.
Рассмотрим теперь отношения Margalit-McCammond в круппе крашеных кос.
• Отношение MM1 транслируется в движение A.
• В отношении MM2 имеем 8 случаев в зависимости от четностей i, r, s. Дабы успростить перебор, будем рассматривать отношения
AirA-rsAis = AisAirArs = ArsAisAir
Если хотя бы два из i, r, s нечетные, и обратные отношения
—1 —1 —1 —1 —1 —1 —1 —1 —1
Ais Ars Air Ars Air Ais Air Ais Ars ,
если хотя бы два из i, r, s четные. Отношения MM2 в таком случае транслируются в следующие движения, которые обозначим как M1, M2, если один из i, r, s четный:


В случае, когда все три i, r, s четные, получается движения M3:


Обратные отношения превращаются в движения M*, M2, M3.
• Для отношения MM3 имеем 16 различных случаев в зависимости от четностей i, j, r,s. Отношение можно упростить с помощью следующего, эквивалентного, отношения:
£ 5а —1 5а —1 £
Aij(AirArs Air ) (AirArs Air )Aij,
где
- £ = 1 если i, j одной четности, и s = —1 иначе;
- 5 = 1 если i, r одной четности, и 5 = —1 иначе;
- а = 1 если s нечетно, и а = —1 иначе;
Если i нечетно, r четно, это отношение транслируется в движения M4:

Если оба i, r нечетны, отношение транслируется в движение M5, а если 5 четно, движения транслируются в M5 c дорисованной хордой:


Таким образом, мы доказали, что любые две диаграммы застежек, реализующие эквивалентные узлы, получаются друг из друга конечным числом операций A, B, C1, C2, M1 — M5, M*, M^. Осталось показать, как вывести M1 — M5 и их отражения из A, B, C1, C2, C4. Вывод для M1, M2 и их отражений получается прямолинейно:


Для движения M3 введем промежуточное движение D1:

Отражением диаграммы можно получить движение Df. Отсюда имеем вывод M3, M4:


Вывод M4 получается отражением преобразований для M4, для этого нужен вывод С%:


Для движения M5 потребуются дополнительные движения D2, D3 (отраженные версии получаются отражением диаграмм):

Отсюда можно получить М5(с, соответственно, отражение), следующей диаграммой:


На этом доказательство теоремы завершается

Купить