Около 6 лет назад Ф.Л. Назаров и А.М. Олевский построили множество конечной меры на прямой, преобразование Фурье характеристической функции которого сосредоточено на довольно тонком множестве. Это утверждение выглядит как кульминация предшествующих результатов о подобных “нарушениях принципа неопределенности” (краткий, но информативный их обзор приведён во введении к). Однако по существу в было найдено короткое и изящное рассуждение, в основе которого лежит нелинейное построение специального ортогонального ряда и которое не использовало работы предшественников.
Впоследствии выяснилось, что метод Назарова и Олевского допускает обобщения. Оказалось, что множество конечной меры — такое, как у них, — можно получить из любого множества конечной меры малым изменением. Более того, подобный результат верен для любой недискретной локально компактной абелевой группы. Если же группа конечномерна, можно ещё вдобавок обеспечить равномерную ограниченность частичных сумм (или интегралов) Фурье у характеристической функции исправленного множества.
В этой работе мы продолжим изучение указанного метода. Точная формулировка и обсуждение приведены в §1.
В §2 мы обсудим модификацию метода Назарова и Олевского применительно к другой задаче. Их метод в какой-то мере (но не в конкретных деталях) перекликается с методом, предложенным А.Б. Александровым в работе для построения внутренней функции в шаре и получения других подобных результатов. У Александрова цель тоже достигалась путём построения некоторого специального ортогонального ряда. Мы используем идеи работ для построения чего-то вроде внутренней функции, а точнее — функции, по модулю равной единице, со спектром, ограниченным с одной стороны, и большими лакунами. На этот раз мы будем исправлять до такой функции произвольную измеримую функцию на окружности с единичным модулем. Точная формулировка — в §2.
