Введение 4
Формулировка проблемы 9
1.1 Кубические полиномиальные сплайны 10
1.2 Кубические и квадратичные полиномиальные сплайны 13
1.3 Неполиномиальные сплайны 18
Решение задачи интегрального уравнения Вольтерра 23
2.1 Численные примеры 25
2.2 Применение квадратурного правила Симпсона 28
2.3 Вывод 36
Сплайны четвёртого порядка аппроксимации и интегральные уравнения
Вольтерра 36
Список литературы 41
Купить

Новый подход к разработке численных решений интегральных уравнений часто связан с применением интерполяции. К известным методам решения интегральных уравнений Вольтерра второго рода относятся, прежде всего, метод трапеции и метод Симпсона. Метод трапеции довольно прост в использовании. Это следует отнести к преимуществам данного метода. Как известно, при проверке результата решения часто используется несколько различных методов. Поэтому желательно применять несколько различных методов для решения одного и того же уравнения. Следует отметить, что различные типы сплайнов довольно часто используются при решении задач интерполяции. Кратко напомним одну из главных причин их широкого использования.
Пусть Рп - интерполяционный многочлен, который решает задачу интерполяции Лагранжа, когда мы используем значения функции Рунге в равноудаленных узлах на интервале [-1,1]. Как известно (факт был установлен Рунге в 1901 году), верно следующее соотношение:
II f — Рп II ^ от гДе п ^ +“■
Таким образом, последовательность интерполяционных многочленов Рп не стремится к функции Рунге, когда n стремится к бесконечности. Таким образом, при решении различных задач математической физики широко используются сплайны. Следует отметить, что работы [1]-[34] относятся к числу множества работ, посвященных численным методам решения интегральных уравнений Вольтерра. В [1] авторы обсуждают сверхсходимость “интерполированных” решений коллокации для слабых сингулярных интегральных уравнений Вольтерра второго рода. В работе [2] рассматривается метод Рунге-Кутта 6-го порядка с семиступенчатым методом нахождения численного решения интегро-дифференциального уравнения Вольтерра. В работе [2] интегральный член в интегро-
дифференциальном уравнении Вольтерра был аппроксимирован с использованием численного метода интерполяции Лагранжа. В работе [3] представлено численное решение интегральных уравнений Вольтерра-
Фредгольма со слабой особенностью. В [3] представлен новый вычислительный метод, основанный на B-сплайнах. В работе [4] обсуждается численное решение класса слабых сингулярных интегральных уравнений Вольтерра. В работе [4] для решения проблемы сингулярности решения применяется дробная интерполяция Лагранжа, и разрабатываются эффективные методы граничных значений дробной коллокации. В работе [5] метод радиальных базисных функций используется для решения интегрального уравнения Вольтерра. Новый метод коллокации для численного решения интегральных уравнений Фредгольма, Вольтерра и смешанных уравнений Вольтерра-Фредгольма второго рода был представлен в работе [6]. В работе [7] было предложено квадратичное правило для численного решения линейных и нелинейных двумерных интегральных уравнений Фредгольма на основе квазиинтерполяции сплайнами.
Использование локальных полиномиальных и неполиномиальных сплайнов позволяет нам построить новые методы решения интегрального уравнения Вольтерра второго рода. В статье [8] обсуждается использование полиномиальных и неполиномиальных сплайнов третьего порядка аппроксимации. Эти сплайны показали хорошую численную устойчивость и подходят для построения решений как на однородной, так и на неоднородной сетке узлов.
В исследовании [11] предлагается применять методы машинного обучения при численном решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ODEs).
В статье [12] исследуется применение аппроксимаций с сохранением положительности для решения двумерной модели Лотки-Вольтерра "хищник-жертва", с мультипликативными «шумами»....
Купить