Введение 3
Постановка задачи 5
Обзор литературы 6
Глава 1. Задача двух тел 7
1.1 Постановка задачи 7
1.2 Кеплеровы элементы орбиты 7
1.3 Уравнения движения задачи двух тел и их решения 8
Глава 2. Система дифференциальных уравнений для решения уравнения Кеплера 10
2.1 Полиномиальные системы 10
2.2 Подготовка к применению алгоритма методов рядов Тейлора 10
Глава 3. Реализация алгоритма 12
3.1 Описание программы 12
3.2 Результаты решения уравнения Кеплера 12
3.3 Результаты решения задачи двух тел 14
Заключение 16
Литература 17
Приложение 1 18
Приложение 2 19
Приложение 3 20
Приложение 4 23
Приложение 5 24
Приложение 6 25
Приложение 7 26
Купить

Численные методы решения дифференциальных уравнений набрали большую популярной в современном мире. Компьютерные технологии достаточно продвинуты для проведения данных вычислений, однако иногда существующих мощностей может не хватать для достаточно точного или достаточно быстрого решения поставленных задач. Поэтому исследования в области изучения, сравнения и улучшения имеющихся численных методов крайне важны как для дальнейшего продвижения науки в целом, так и для прикладного использования наших математических знаний.
Подобное движение может быть описано системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Такие системы хорошо изучены и для их решения были разработаны различные численные методы. Однако выбор наиболее оптимального метода напрямую зависит от конкретной задачи. Одним из методов решения систем дифференциальных уравнений является метод рядов Тейлора, который дает преимущество в точности вычислений. В общем случае этот метод требует значительных компьютерных мощностей, однако он работает намного быстрее если интегрируемая система имеет полиномиальные правые части. Из положительных особенностей метода Тейлора также стоит подчеркнуть его способность решать жесткие системы, в отличие от метода Рунге-Кутты.
Математическая модель задачи двух тел может быть представлена в виде полной полиномиальной системы уравнений в частных производных. Но до недавнего времени литературы, описывающей алгоритм метода рядов Тейлора для подобных систем, не было. Статья «Estimates for Taylor series method to polynomial total systems of PDEs» (Бабаджанянц Л.К, Потоцкая И.Ю., Пупышева Ю.Ю.), дающая необходимые математические инструменты для интегрирования полных полиномиальных систем УрЧП была опубликована в «Вестнике СПбГУ» только в начале мая 2021 года. Для программной реализации метода рядов Тейлора, в данной работе будет рассматриваться система полиномиальных уравнений, полученная в своей выпускной квалификационной работе магистра Дмитриевой Анной.
В данной работе объектом исследования является задача двух тел, предметом исследования - методы решения системы дифференциальных уравнений, описывающих задачу двух тел.
Выполнение этой работы было разделено на несколько этапов: изучение литературы, связанной с задачей двух тел, анализ полученной информации, моделирование системы, программная реализация алгоритма решения полиномиальных уравнений методом рядов Тейлора, отладка программы на решении уравнения Кеплера и сравнение точности данного алгоритма, программная реализация решения задачи двух тел.
Структурно работа состоит из нескольких глав. В первой главе приводится описание задачи двух тел. Вторая глава посвящена построению системы полиномиальных уравнений в частных производных для решения уравнения Кеплера. В третьей главе представлено описание алгоритма программной реализации метода Тейлора для получения численного решения системы.
Купить