Введение 4
Цели работы 6
Обзор литературы 7
Глава 1. ВИЧ-инфекция 11
1.1. Анализ особенностей болезни 11
1.2. Анализ особенностей статистических данных 12
Глава 2. Математическое моделирование эпидемий 15
2.1. SIR-модель 15
2.1.1 Момент максимального числа инфицированных индивидуумов 17
2.1.2 Выявление зависимостей и анализ SIR-модели .... 18
2.2. Учет рождаемости и смертности в SIR-модели 20
Глава 3. Получение параметров модели без учета ошибки статистических данных 23
3.1. Анализ коэффициентов для ВИЧ-инфекции 23
3.2. Анализ коэффициентов для ВИЧ-инфекции 23
3.2.1 Постановка задачи 23
3.2.2 Приближение полученных результатов 25
3.3. Получение коэффициентов для SIR-модели с учётом рождаемости и смертности 28
3.4. Анализ полученных результатов 29
Глава 4. Прогнозирование с учетом ошибки статистических данных 31
4.1. Учёт ошибки статистических данных 31
4.1.1 Разбиение на сетку 31
4.1.2 Метод Монте-Карло 32
4.2. Моделирование и анализ полученных результатов 32
4.2.1 Классическая SIR-модель 32
4.2.2 SIR-модель с учетом рождаемости и смертности ... 35
4.2.3 Сравнение результатов для двух моделей 36
Глава 5. Рассмотрение противоэпидемических мер 38
5.1. Методы контроля эпидемии 38
5.1.1 Химиопрофилактика 40
5.1.2 Изоляция больных 42
Выводы 46
Заключение 47
Список литературы 48
Приложения
Математическое моделирование эпидемиологических процессов является основой для прогнозирования и оценки динамики распространения заболевания. Качественные и адекватные математические модели позволяют сдерживать и контролировать течение эпидемии. Грамотный прогноз развития эпидемии необходим для оптимизации противоэпидемических мер таких, как вакцинация, карантин, изоляция больных и т. д.
Данная работа посвящена математическим моделям эпидемиологических процессов, а именно — их анализу, синтезу, а также практическому применению на примере прогнозирования ситуации в России по ВИЧ- инфекции, на фоне которой развивается синдром приобретенного иммунного дефицита (СПИД).
Математические модели эпидемий также могут применяться в моделировании экономических процессов. Прогнозирование с помощью таких моделей позволяет определять спрос на товар с течением времени, что позволяет оптимизировать расход ресурсов и анализировать целесообразность производства. Поиск одной из величин, важной в моделировании не только медицинских, но и экономических процессов, также будет рассмотрен в этой работе.
ВИЧ-инфекция — заболевание, провоцирующее постепенное падение общего иммунитета человека, вследствие чего организм теряет способность бороться с воздействием патогенных бактерий и развитием злокочественных новообразований. Последней стадией развития ВИЧ-инфекции, на которой происходит разрушение жизненно важных систем организма, является СПИД.
Статистика по ВИЧ-инфекции в России с каждым годом изменяется в худшую сторону: растет чисто инфицированных, возрастает смертность. По отношению числа новых случаев инфекции к численности населения Россия занимает лидирующие позиции в мире.
Для построения математической модели заболевания требуется рас-смотреть процесс её протекания, способы передачи и другие особенности, которые следует учитывать при создании модели. Это необходимо для создания оптимальной структуры модели: определения необходимых к рассмотрению групп индивидуумов, анализа вида связей и переходов между этими группами, а также для определения допустимых значений используемых в модели коэффициентов.
В данной работе анализируются ключевые особенности ВИЧ-инфекции и статистических данных по болезни в России для дальнейшего использования этой информации в прогнозировании течения эпидемии. Большое внимание уделяется пику эпидемии — моменту максимального числа инфицированных.
Основным инструментом моделирования в работе является классическая SIR-модель Кермака — МакКендрика, рассматривающая деление популяции на три группы индивидуумов: восприимчивые к заболеванию, инфицированные и выбывшие из группы инфицированных. Помимо применения классической модели рассматриваются модели, дополненные учетом рождаемости и смертности, а также модели противоэпидемических мер.
Цели работы
Ключевыми целями данной работы являются:
1. Анализ и синтез существующих моделей распространения заболеваний: поиск зависимостей внутри классической SIR-модели распространения заболеваний, составление модели с учетом рождаемости и смертности, подходящей для моделирования ВИЧ-инфекции.
2. Получение параметров рассматриваемых моделей с помощью статистических данных по заболеваемости ВИЧ-инфекцией.
3. Прогнозирование ситуации по заболеваемости ВИЧ-инфекцией в России, рассмотрение протекания эпидемии с применением противоэпидемических мер.
Подведем итог проделанной работы.
1. В результате анализа SIR-модели распространения заболевания получена формула нахождения момента максимального числа инфицированных индивидуумов, который является важной величиной в прогнозе не только эпидемиологических, но и экономических процессов.
2. Классическая SIR-модель была дополнена учетом рождаемости и смертности с принятыми во внимание особенностями распространения эпидемии вертикальным способом передачи.
3. Для классической SIR-модели и модели с учетом рождаемости и смертности были найдены параметры системы по имеющейся статистике заболеваемости. Рассмотрены различные эпидемиологические ситуации, зависящие от точности статистики, составлены лучшие и худшие прогнозы.
4. Рассмотрены способы контроля эпидемии, составлены модели для химиопрофилактики и изоляции инфицированных индивидуумов, при этом под изоляцией подразумевается не буквальное отделение от общества, а изменение поведения на более безопасное для окружающих. Рассмотрено влияние перечисленных мер на полученные прогнозы, сделаны выводы о возможных направлениях противоэпидемической деятельности.
Основные результаты опубликованы в [15] и [16].
