Исследование асимптотического поведения решений нелинейных разностных систем

Введение
Постановка задачи
Обзор литературы
Глава 1. Основные обозначения и предположения
1.1. Диагональная устойчивость
1.2. Условие Липшица ......................................................................................... 9
Глава 2. Системы с линейными оценками .......................................................... 10
2.1. Предположение ........................................................................................... 10
2.2. Оценки .......................................................................................................... 10
2.3. Результаты ................................................................................................... 11
Глава 3. Системы со степенными оценками ...................................................... 13
3.1. Предположение ........................................................................................... 13
3.2. Оценки в окрестности начала координат ................................................. 13
3.3. Оценки вне окрестности начала координат ............................................. 14
3.4. Вспомогательные результаты .................................................................... 15
3.5. Основные результаты ................................................................................. 16
3.6. Пример ......................................................................................................... 18
Глава 4. Системы с насыщением ......................................................................... 20
4.1. Предположение ........................................................................................... 20
4.2. Оценки вне окрестности начала координат ............................................. 20
4.3. Результаты ................................................................................................... 21
Выводы ................................................................................................................... 23
Заключение ............................................................................................................ 24
Список литературы
Купить

Разностные уравнения широко используются для описания систем, состояния которых изменяются в дискретные моменты времени [1–5]. Кроме
того, во многих случаях при рассмотрении непрерывных математических моделей допускается их приближенная замена дискретными [1–3, 6]. К примеру,
многие численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) представляют собой способы сведения дифференциальных уравнений к разностным [1, 7, 8].
В приложениях разностных и дифференциальных уравнений часто возникает задача исследования устойчивости их решений. При этом в случаях
устойчивых решений важной практической задачей является оценка области
их притяжения. Особый интерес представляет ситуация, когда устойчивость
носит глобальный характер, то есть, когда областью притяжения решения является все пространство параметров.
В настоящей работе исследуется проблема глобальной устойчивости решений одного класса нелинейных систем с переключениями. Предполагается,
что нелинейности удовлетворяют ограничениям секторного типа. Система с
переключениями представляет собой гибридную систему, состоящую из семейства подсистем и закона переключения, определяющего в каждый момент
времени какая из подсистем является активной. Системы такого вида появляются при моделировании многих реальных процессов [9–13].
Известно, что из устойчивости каждой используемой подсистемы в общем случае не следует устойчивость гибридной системы. Для того чтобы доказать устойчивость системы с переключениями, достаточно построить общую функцию Ляпунова для каждой подсистемы, соответствующей рассматриваемой системе. Однако проблема существования такой функции не полностью решена даже для семейства линейных автономных подсистем.4
В тех случаях, когда общую функцию Ляпунова построить не удается,
обеспечить асимптотическую устойчивость можно путем наложения специальных дополнительных ограничений на закон переключения (dwell-time
approach [10, 14–18]). Для некоторых типов гибридных систем доказано, что
асимптотическая устойчивость будет сохраняться, если промежутки времени
между последовательными переключениями достаточно велики. Однако такой
подход хорошо развит только для семейства экспоненциально устойчивых
подсистем. В данной работе указанный подход применяется для одного класса
существенно нелинейных подсистем. При этом обеспечивается глобальный
характер асимптотической устойчивости.
Купить