Введение 3
Обзор литературы. Постановка задачи 4
Глава 1. Основные понятия. Математическая формулировка задачи 5
1.1. Объем тетраэдра и площадь его грани 5
1.2. Математическая формулировка задачи 6
1.3 Теория исключения 6
Глава 2. Трехмерное пространство 8
2.1. Первый случай 8
2.2. Второй случай 9
2.3. Третий случай 11
2.4. Общий случай 13
Глава 3. Четырехмерное пространство 17
3.1. Первый случай 17
3.2. Второй случай 20
Заключение 25
Список литературы 26
В повседневной жизни людям так или иначе приходится иметь дело с многогранными геометрическими телами: предметами мебели, произведениями архитектуры и т.д.
Над вычислением объемов многогранников задумывались в IV-III вв до н.э. такие математики как Демокрит и Евдокс Книдский. В “Началах” Евклида приведены теоремы о соотношениях объемов различных геометрических тел. Решением задачи нахождения объема тетраэдра через длины его сторон занимались в XV-XVI вв н.э. Пьеро делла Франческа, Лука Пачоли и Никколо Фонтана (Тарталья).
Задачи, связанные с объемами многогранных тел, находят применение в природе. Например, простейшее морское животное феодария, обитающее на большой глубине, имеет скелет в форме икосаэдра (правильного двадцатигранника, каждая грань которого является правильным треугольником). Из двенадцати вершин скелета выходят иглы, позволяющие феодарии защищаться от хищников. Среди всех двадцатигранников икосаэдр имеет наибольший объем при наименьшей площади поверхности. Это свойство позволяет организму справиться с высоким давлением на морской глубине.
Сравнительно недавно было выяснено, что форму икосаэдра имеет и большинство вирусов. Именно она предоставляет им возможность “хранить” большое количество генетической информации при малых размерах.
Математика Паппа Александрийского в IV в н.э. заинтересовал тот факт, что пчелиные соты имеют форму правильного шестиугольника, а не другого правильного многоугольника. Примечательно, что при фиксированном количестве затраченного воска ячейка именно такой формы имеет наибольший объем [1].
Благодаря пчелиным сотам получила свое название сотовая связь. Зона распространения сигнала каждой базовой станции имеет форму шестиугольника. При этом станции размещаются таким образом, чтобы зоны прилегали друг к другу по принципу “ячейка к ячейке”. Вся сеть имеет вид, схожий с видом пчелиных сот. Такое расположение станций создает условия для исправного соединения.
Задачи, которые в вышеописанных примерах так изящно решила природа, часто возникают на производстве, а также в строительстве, когда требуется охватить участок максимальной площади (или пространство максимального объема), затратив при этом минимальное количество ресурсов.
Таким образом, задачи оптимизации объемов многогранников остаются актуальными как в природе, так и в жизни современного человека.
В работе рассмотрена задача Лагранжа об объеме симплекса. Проведено сравнение решений, предложенных Лагранжем и Борхардтом, а также исследован подход, развитый Борхардтом для решения многомерного аналога задачи. На основе полученных им результатов выведены алгебраические уравнения относительно искомого объема при некоторых значениях параметров задачи. Определена предположительная степень уравнения относительно искомого объема для случая четырехмерного пространства.
