Введение 04
1. О тепловой конвекции 04
2. Уравнения Навье-Стокса в приближении Буссинеска 07
3. Системы уравнений для функции тока 08
4. Приближения для неглубоких водоемов 09
Глава 1. Конвективные течения в атмосфере 11
1.1 Ветры Земли 11
1.2 Описание морских бризов 13
1.3 О природе термиков 17
1.4 Интегрирование уравнения общего вида 19
1.5 Симметричный случай 20
1.6 Несимметричный случай потока тепла сверху 22
1.7 Несимметричный случай температуры снизу 24
1.8 Выводы по первой главе 26
Глава 2. Слой воды с источником тепла 27
2.1 Тепловое загрязнение 27
2.2 Интегрирование уравнения общего вида 28
2.3 Трехслойная схема распределения источником тепла в объеме воды 30
2.4 Случай полной симметрии 34
2.5 Случай сильной асимметрии 36
2.6 Модель, учитывающая наличие источника тепла и стока тепла 38
2.7 Выводы по второй главе 40
Глава 3. Исследование конвективных течений в озере с учетом таяния льдины 41
3.1 Расчет таяния льдины в озере 41
3.2 Однофазная задача 42
3.3 Двухфазная задача 45
3.4 Льдина на поверхности 49
3.5 Симметричный случай 51
3.6 Случай с двумя льдинами 53
3.7 Выводы по третьей главе 55
4. Выводы 56
5. Литература 57
6. Приложение 60
Купить

В дипломной работе представлены математические модели конвективных движений в различных средах: в приземном слое атмосферы: термики, бризы (глава 1), в неглубоких водоемах при наличии теплового загрязнения (глава 2), а также в водоемах при наличии льдин (глава 3). Исследование основано на упрощенных уравнениях динамики сплошной среды, которые, тем не менее, достаточно адекватно описывают некоторые конвективные процессы в объеме.
1. О тепловой конвекции
В неравномерно нагретой жидкости, находящейся в поле тяжести, при определенных условиях возможно механическое равновесие. Если неоднородность температуры в пространстве достаточно велика, то равновесие становится неустойчивым и в результате развития возмущений сменяется конвективным движением. В этом случае говорят о естественной (свободной) конвекции в отличие от вынужденной конвекции, при которой поле скоростей не зависит от поля температур, а определяется другими факторами, например, внешним течением.
В тех же условиях, когда равновесие невозможно, конвекция возникает при сколь угодно малой неоднородности температуры.
Началом систематического изучения конвективного движения можно считать эксперименты Бенара [1,2], наблюдавшего возникновение пространственно-периодической конвекции в подогреваемом снизу горизонтальном слое жидкости, так называемые ячейки Бенара (рис.1).
Рис. 1. Конфигурация течения, возникающего при конвекции в подогреваемом снизу слое жидкости.
Рэлей [3] теоретически исследовал устойчивость равновесия в горизонтальном слое и определил крайние значения параметров конвекции для модельного случая слоя с обеими свободными границами. Дальнейшее развитие теории продвигалось весьма медленно из-за значительных вычислительных трудностей. В ряде работ рассматривались лишь некоторые усложнения задачи о горизонтальном слое, связанные с различными условиями на ограничивающих плоскостях. Г. А. Остроумов теоретически и экспериментально исследовал условия возникновения конвекции в вертикальном круговом канале [4].
По этим проблемам в [5] представлен обширный обзор.
Конвекция (от лат. сопуесйо - принесение, доставка) — движение жидкости или газа в поле тяжести под влиянием потока теплоты, идущего снизу (иногда сверху). Движущей (подъёмной) силой является сила Архимеда FA = д • Др - V. Разность плотностей Др поднимающегося объёма V и окружающей среды (рис.2) зависит от различия их температур; вещество в объёме V должно быть горячее окружающей среды.
Рис. 2. Схема, поясняющая возникновение конвекции
Условия образования конвекции: температура T1 в глубине конвективного слоя выше, чем на его поверхности T2, температура поднимающегося элемента объёма выше, а плотность ниже, чем у окружающей среды. Давление р внутри и снаружи одинаково. Подъёмная сила на 1 см3 равнаЕл = д ' Др, д - ускорение свободного падения.
Конвекция широко распространена в природе: она происходит в нижнем слое атмосферы Земли (тропосфере) и в атмосферах некоторых других планет, во внешних слоях Солнца толщиной 20-30% его радиуса, в центральных частях массивных звёзд, в жидком ядре планет (рис. 3).
Рис. 3. Конвективные течения внутри Солнца и в жидком ядре Земли.
Большое значение конвекция имеет в технологических процессах [6]. Неравномерный нагрев жидкой среды обеспечивает ее перемешивание.
Экспериментально показано наличие конвективных течений в неглубоких водоемах при неравномерном нагреве сверху (рис.4).
Рис. 4. Возникновение конвективных течений при нагреве сверху.
В атмосфере возникновение конвективных течений связано как с неоднородностью подстилающей поверхности, так и с неравномерностью солнечного обогрева. Солнце — основной источник тепловой энергии, поступающей на Землю. Солнечные лучи достигают земной атмосферы и на верхней ее границе отдают каждому квадратному сантиметру горизонтальной поверхности в минуту около 2 калорий тепла. Эту величину тепла называют солнечной постоянной. Но сквозь атмосферу до поверхности Земли доходит далеко не все тепло, мешает облачность.
2. Уравнения Навье-Стокса в приближении Буссинеска
Рассмотрим некоторые процессы, связанные с конвективным течением среды, которую будем характеризовать изменяющимися во времени и пространстве скоростью v(x,y,z,t), плотностьюр(х, у, z, t) и температурой Т(х,у, z, t).
Изменение этих параметров во времени и в пространстве описывается системой уравнений тепловой конвекции в приближении Обербека- Буссинеска [7,8]:
р ^— + (уV)ii) = —Vp + pV2v + pg
dp
-Г + у(ру) = о
dT
— +V(Tv) = kV2T
где V = i'^+J'^ + k'^- векторный оператор Гамильтона, (i,j,k) - орты прямоугольной системы координат. Здесь вектор v(x,y,z,t) - скорость жидкости, p(x,y,z) — поле давлений, ц — коэффициент вязкости, к — коэффициент температуропроводности, р — плотность жидкости; д — ускорение силы тяжести.
Для замыкания системы уравнений надо написать уравнение состояния вещества
P =f(P,T).
Предполагаем линейную зависимость плотности от температуры.
Она получается при разложении уравнения состояния среды
р = Р0 (1 — р(т — Г)).
Здесь в = — X (£) — коэффициент теплового расширения.
В жидкости, которую принято называть несжимаемой, при изменении температуры плотность, тем не менее, меняется. Это обстоятельство является причиной конвективных движений. Однако при исследовании конвекции в несжимаемой жидкости переменность плотности учитывается только при вычислении силы плавучести, а в уравнениях движения и неразрывности плотность принимают постоянной.
Несмотря на то, что неоднородность плотности учитывается только в уравнении движения, приближение Буссинеска достаточно хорошо отражает важнейшие особенности тепловой конвекции.
Будем рассматриваться плоское течение несжимаемой жидкости.
Уравнение Навье-Стокса для несжимаемой жидкости в проекциях на оси декартовых координат (х, у) имеют вид [9]
/ди ди ди др
р(м + иа; + рдУГд;+^и
/ди ди ди др
р[-д1 + ид^ + цдУ) = -ра-дУ + р&и
ди ди
'a~ + A~ = 0 дх ду
где Д= + -^- оператор Лапласа, (и, и)- компоненты вектора скорости, р - плотность жидкости, р - ее вязкость.
Уравнение энергии для жидкости с постоянными параметрами без источников и без диссипации имеет вид
Рср(^ + и^ + и^-) = л(^Л + ^) + ч(х,У)
pdt дх ду) дх2 ду2) 4 7
где Т - температура жидкости, ср- удельная теплоемкость, А -коэффициент теплопроводности, ц(х,у) - мощность источников тепла в среде.
3. Системы уравнений для функции тока
При решении в двумерной постановке удобно из уравнений движения исключить давление, введя функцию тока ф по формулам
дф
и = ^-,v =
ду
Тогда уравнения запишутся в виде
дкф 1 /дфдАф дфдАфх дТ
dt + Ргду дх дх ду ) дх
дТ /дфдТ дфдТ_
dt + 5у дх дх ду)
Здесь - число Прандтля Рг = —^ температурное число Релея
Л
Ra = g-^.
м
За единицу длины принята высота слоя, для температуры — разность между максимальным и минимальным значением температуры на границе.
Для стационарного случая в линейном приближении (отбросив произведения функций и производных) получим
Мф = Ra^,bT = 0
дх
с соответствующими краевыми условиями для температуры (в каждой модели свои) и для функции тока.
Верхнюю границу слоя предположим свободной, причем деформацией границы, вызванной конвекцией, пренебрежем, а нижнюю границу будем считать твердой. Обозначив объем жидкости, протекающей в направлении оси х за единицу времени, через ф0(ф0 > 0), имеем следующие граничные условия для функции тока:
ф(х, Н) = ФоЛ~у (х, Н) = 0, ф(х, 0) =^ (х, 0) = 0'
ду2 ду
4. Приближения для неглубоких водоемов
Эту систему уравнений можно еще упростить, если рассматривать области, поперечный размер которых значительно меньше продольного размера.
Положим q(x,y) = 0 , т.е. источник тепла в слое отсутствует.
Уравнение для температуры + = 0.
Будем считать, что «. Это можно показать, переходя в уравнении к безразмерным переменным. Пусть Т = Т0Т, где Т0 - характерное значение температуры, а Т - безразмерная температура. Пусть характерные размеры по оси х — L, а по оси у — Н. Сделаем замену: х = Lx,у = Ну, где х, у - безразмерные величины.
В правой части получим
52Г д2Т _ т0 д2Т Т0 д2Т _ Т0 (д2Т Н2 д2Т
ду2 + дх2 Н2 ду2 + L2 дх2 Н2 уЗу2 + L2 дх2 )
Для узких каналов считаем, что ~ « 1, тогда« 1. Следовательно, d2T/dx2 << d2T/dy2.
Окончательно уравнения в приближении Буссинеска, описывающие конвекцию в плоском стационарном случае в безразмерных переменных значительно упростятся: уравнения для температуры
— = 0
ду2
и уравнения для функции тока ^ с учетом ^-^ « ^-^
их и у
r4 = RalT’
ду4 дх
где Ra — температурное число Рэлея.
Уравнения (1) и (2) с различными граничными условиями будут основой всевозможных моделей большого количества процессов в жидких средах.
Купить