1. Введение
2. Обзор теории статистик
3. Эффективность по Бахадуру
4. Интегральная статистика
5. Интегральная статистика
6. Статистика типа Колмогорова
7. Заключение
Список литературы
Одной из важнейших областей математической статистики является проверка статистических гипотез. Хорошо известно, что нормальное распределение занимает центральное место в теории вероятностей и математической статистике, как в теоретических, так и практических задачах. Поэтому особенно важно иметь широкий набор инструментов для возможности проверки нормальности. Существует множество критериев проверки нормальности, основанных на самых разных идеях, см., например, [1],
[2].
Одним из актуальных методов построения критериев нормальности является использование характеризаций, которых для нормального закона известно очень много, см., например, [3], [5].
Хорошо известным примером такой характеризации является знаменитая теорема Дж.Пойа [8]: пусть - центрированные независимые одинаково распределенные случайные величины; имеют одинаковое распределение тогда и только тогда, когда нормально распределены с некоторой положительной дисперсией.
Критерии нормальности, использующие эту характеризацию, были построены в [10],
[12] и [11]. О других критериях нормальности, основанных на характеризациях, можно прочесть в [13]. Тем не менее, таких работ в настоящее время не так уж много,
а область в целом можно назвать малоизученной. Исследования в этом направлении
являются достаточно перспективными, а эффективности новых критериев зачастую
довольно высоки относительно известных.
В данной работе мы строим статистический критерий согласия, основанный не на характеризации нормального закона, а на его известном свойстве, лишь близком к характеризации, которое будет описано ниже. В определенном смысле работа продолжает исследование Волковой и Никитина [14], в котором строились критерии экспоненциальности, основанные на свойстве экспоненциального закона, также не являющемся характеризацией. В работе [14] построенные критерии оказались весьма эффективными. Качество критериев, которые будут построены ниже для проверки нормальности,
нам предстоит изучить.
Однако множество таких законов, изучавшееся в указанных работах, по-видимому, не очень обширно. Поэтому критерии, построенные на указанном свойстве, вообще говоря, могут быть несостоятельными, но лишь для узкого набора специфических альтернатив. Но ведь многие критерии, хорошо известные в статистической практике, также несостоятельны против специфических альтернатив, например, критерий хи-квадрат, критерий Вилкоксона, критерий Джини и даже критерий отношения правдоподобия.
Указанный недостаток становится также несущественным, если мы используем построенные критерии не для принятия, а для отказа от гипотезы нормальности.
Перед тем, как перейти к построению указанных критериев нормальности, основанных на -эмпирических мерах, мы дадим краткое описание теории -статистик.
В данной дипломной работе были рассмотрены два критерия для проверки нормальности, основанные на свойстве нормального закона. Были исследованы предельные
распределения и большие уклонения построенных статистик интегрального типа и типа Колмогорова, а также вычислена локальная эффективность по Бахадуру для ряда
альтернатив. Для многих из рассмотренных альтернатив эффективность оказалась равна нулю. Тем не менее, как показано в работе, для обоих типов статистик существуют альтернативы специального вида, для которых рассматриваемые статистики локально асимптотически оптимальны по Бахадуру
