Введение
Глава 1. Постановка задачи. Основные свойства решений для игр с
трансферабельной полезностью
1.1. Обзор литературы
1.2. Постановка задачи
1.3. Основные определения и свойства теоретико – игровых решений ......... 8
Глава 2. Решения ТП-игр и их аксиоматизации
2.1. Вектор Шепли
2.2. Пред n-ядро.
2.3. SM-ядро.
2.4. С-ядро.
Глава 3. Исследование MSC
3.1. Исследование свойств теоретико-игровых решений для MSC ............... 22
3.2. Сравнение свойств одноточечных решений и аксиоматическая
характеризация MSC
Глава 4. Сравнение и выбор оптимального решения в ТП-играх.................... 32
4.1. Теоретическая основа метода сравнения решений .................................. 32
4.2. Программная иллюстрация метода сравнения одноточечных решений 33
Заключение
Использованная литература и источники
Приложение №1
Теория игр – раздел математики, основным предметом которого является поиск оптимальных стратегий в ситуациях, когда две или более сторон ведут борьбу за реализацию своих интересов. Такие ситуации называются играми. В каждой игре игроки следуют определенной стратегии, которая приведет каждого к проигрышу или выигрышу. При выборе стратегии каждому игроку необходимо опираться не только на максимизацию своего выигрыша, но и учитывать поведение другого игрока.
Методам теории игр находят применение в экономике (наиболее частое применение), медицине, психологии, социологии, политологи, военном деле и т.д.
Выделяют кооперативную и некооперативную теорию игр. Отличием кооперативной теории игр от некооперативной является то, что она изучает поведение игроков, объединённых в коалиции. Внутри игры существуют обязывающие соглашения, которые безоговорочно соблюдаются всеми игроками, что и объединяет игроков в коалиции. Одной из задач кооперативной теории игр является изучение методов справедливого распределения дохода или затрат, которые будут удовлетворять всех участников игры. Справедливость метода гарантируется определенными свойствами, определенный набор которых задает то или иное решение.
Описанный подход к формированию решений кооперативных игр является аксиоматическим
Объектом изучения в данной работе являются различные решения игр с трансферабельной полезностью, особое внимание будет уделено изучению и описанию MSC. Методологической и теоретической основой являются труды зарубежных и отечественных авторов по теории игр, посвященных процессу аксиоматизации.4 Работа состоит следующих частей:
обзор литературы по различным аксиоматизациям решений игр с трансферабельной полезностью (ТП-игр);
описание свойств решений ТП-игр;
исследование свойств для MSC;
доказательство независимости аксиом для MSC;
программная реализация подхода выбора оптимального одноточечного решения.
Описание принципов является актуальной задачей, так как не существует абсолютной оптимальности, у каждого игрока свое понимание. Для практического применения рассматриваемого решения традиционно описывается его аксиоматизация. Следовательно, актуальность данной работы состоит в том, что после изучения свойств для MSC появится возможность использования данного решения в практических задачах
Данная работа состоит из следующих решенных задач:
1. Составлен обзор по аксиоматическим характеризациям решений игр с трансферабельной полезностью. Первым делом были даны определения базовым понятиям теории игр, перечислены теоретико – игровые свойства решений. Данное исследование является базой для проведения процесса аксиоматизации, так как именно свойства определяют аксиоматические характеристики решений. В обзоре были рассмотрены такие одноточечные решения, как вектор Шепли, пред nядро, SM-ядро и многоточечное решение - с-ядро. Было отмечено, что при различных определениях свойств получаются отличающиеся друг от друга аксиоматизации. Например, для вектора Шепли характерна согласованность по Харту-Мас-Колеллу, а для пред n-ядра – согласованность по Дэвису-Машлеру.
2. Исследованы свойства селектора SC-ядра – вектора MSC. Данная задача является основной в данной работе. Её актуальность состоит в том, что после получения аксиоматизации данного решения появится возможность практического использования в задачах. По результатам исследования MSC удовлетворяет следующим свойствам: одноточечности, непустоты, ковариантности, согласованности по Дэвису-Машлеру, подтверждения. В список не включены аксиомы эффективности, инвариантности относительно сдвига, положительной однородности и сильной согласованности, так как они являются избыточными. На основе данных свойств предложены два возможных варианта аксиоматической характеризации. В первом случае учитываются свойства одноточечности, непустоты и согласованности, во втором случае – свойства непустоты, одноточечности и сильной согласованности по Дэвису-Машлеру. Далее были доказаны независимости данных свойств путем приведения примеров решений, удовлетворяющим трем из трех свойств.
3. Решена задача выбора лучшего одноточечного решения. Для иллюстрации решения данной задачи были использованы вектор Шепли и MSC, которые были посчитаны для игры трёх лиц. Метод, используемый для данной задачи, основан на применении сгенерированного вектора весов, который получен случайным образом, к нормированному эксцессу, посчитанного для каждого из решений. В итоге был определен весовой коэффициент для каждого из вариантов оптимального дележа. Абсолютная величина данного весового коэффициента является математическим ожиданием каждого из решений, тем самым по его величине можно оценить средний ожидаемый выигрыш. Задача была реализована в пакете Wolfram Mathematica.
