1. Введение 2
2. Обобщённые случайные функции. Определения и свойства 2
3. Пример операции, выводящей за класс случайных величин. Операция ± 6
4. Пример операции, выводящей за класс случайных величин. Второе центрирование 7
5. Приложение понятия обобщённой случайной функции. Вероятностная аппроксимация полугруппы exp(it∆/2), связанная с пуассоновским процессом 8
6. Приложение понятия обобщённой случайной функции. Вероятностная аппроксимация полугруппы exp(it∆/2), связанная с суммой независимых случайных величин 11
7. Приложение понятия обобщённой случайной функции Задача Партасаратти 13
Список литературы 16
Настоящая работа (кроме раздела "Приложение понятия обобщённой случайной функции. Задача Партасаратти”) является более подробным изложением статьи автора [2], в которой было введено понятие обобщённой случайной функции. Ранее эти объекты (без строгого определения) были введены в работе [1], где они возникали в результате применения некоторых регуляризаций, требовавшихся для построения вероятностной аппроксимации полугруппы
P t = exp ( it/2 d2/dx2),
переводящей функцию φ ∈ L2 в решение задачи Коши для одномерного уравнения Шрёдингера
{ −2iut = uxx,
{ u(x, 0) = φ(x); (1)
С помощью введённых объектов в [2] результаты [1] обобщались на многомерный случай.
В данной работе мы излагаем вопросы, связанные с обобщёнными случайными функциями несколько побробнее, нежели это было сделано в [2], и строим вероятностную аппроксимацию для полугруппы
P t = exp ( t/2(S∇, ∇)), (2)
для симметричной матрицы S с отрицательно определённой мнимой частью (задача Партасаратти) в качестве ещё одно примера использования понятия обобщённой случайной функции.
В работе введено расширение понятия случайной величины, рассматрены приложения построенных объектов к построению вероятностных аппроксимаций полугрупп, связанных с многомерным уравнением Шрёдингера и задачей Партасаратти.
