Введение 4
0.1. Цель и задачи
1. Обзор предметной области 7
1.1. DLA (Diffusion-limited aggregation) . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1. Алгоритм .
1.2. DLCA (Diffusion-limited cluster-cluster aggregation) . . . . 7
1.2.1. Алгоритм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Off-lattice DLA-model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1. Алгоритм
1.4. Методы улучшения работы DLA алгоритма . . . . . . . . 9
1.5. Фрактальные кластеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6. Вычисление фрактальных размерностей . . . . . . . . . . 11
1.6.1. Емкостная размерность . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.2. ”Размерность массы” . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.3. Возможности применения
2. Реализация 14
2.1. DLA-модель (Виттен-Сандер)
2.2. Off-Lattice DLA
2.3. DLCA-модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4. Параметры среды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5. Емкостная размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6. ”Размерность массы” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3. Результаты 19
3.1. Диффузионные модели
3.2. Фрактальные размерности
3.3. Функциональные характеристики
Заключение 26
Список литературы
Купить

Одним из определяющих физико-химических принципов взаимодействия веществ является диффузия. Модели, возникшие при исследовании этого принципа взаимодействия, называют диффузионными. Математическая модель диффузионного процесса представляет собой точное описание метода построения определенной структуры посредством соединения (слипания) частиц при условии диффузионного характера их движения. Такая структура называется фрактальным кластером.
По характеру процесса модели делятся на типы “кластер-частица” и “кластер-кластер”. К первому типу относится модель Виттена-Сандера (Diffusion-limited aggregation — DLA) — самая известная и одна из самых первых диффузионных моделей. В ней фрактальный кластер получается посредством последовательной агрегации блуждающих частиц к ядру — фиксированной частице. Модель DLCA (Diffusion-limited cluster-cluster aggregation) относится к классу CCA (cluster-cluster aggregation) и описывает рост фрактального агрегата, получаемого при слипании
кластеров малых размеров, совершающих броуновское движение. Полученные кластеры обладают фрактальными свойствами, которыми обладают многие процессы и явления в природе, также имеющие фрактальную структуру. Примерами могут служить физические явления — релаксация паров металлов, образование гелей в растворах, коагуляция частиц в дымах, геометрические фрактальные структуры, полученные в результате диэлектрического пробоя [5]; химические — коагуляция аэрозолей и коллоидов [12]; а также процессы в биологии и медицине — рост колоний бактерий [14], образование раковых опухолей [16], структура нейронов мозга [3].
При разной природе этих явлений геометрическая фрактальная структура получаемых образцов позволяет анализировать подобные системы, опираясь на общие для них модели. К фрактальным свойствам относятся дробная размерность, которая содержится в определении фрактальной структуры, самоподобие и способность сохранять структуру
при масштабировании. Значительный интерес в исследовании диффу-
4зионных процессов представляет возможность математического моделирования важных свойств, которые могут быть подтверждены опытным путём [5]. Диффузионные модели изучают, начиная с 70-х годов
XX века. Исследовательский интерес к ним не ослабевает и по сей день,
предлагаются различные модификации известных моделей.
Существует множество реализаций DLA-модели, ввиду простоты алгоритма ее построения, ее применимости к широкому классу реальных процессов, красоте получаемых изображений. Приложения, позволяющие моделировать рост DLA-кластеров, реализованы в большинстве своём как апплеты на языке java (java-applets) (например, используемый для создания диффузионных моделей в [3] DLA Java Applet
(Anna Umansky, Sergey Buldyrev)). Так как современные браузеры больше не поддерживают выполнение java-апплетов, подобные реализации можно назвать устаревшими. Кроме того в этих приложениях не реализованы методы оценки фрактальных размерностей; вместо этого они реализуются в качестве отдельных функций (например, в пакете Matlab), что не является удобным при моделировании и изучении диффузионных процессов.
0.1. Цель и задачи
Целью выпускной квалификационной работы является создание инструментального программного средства моделирования диффузии на основе математических моделей типа DLA и CCA для анализа реальных процессов различной природы.
Для достижения поставленной цели в работе решались следующие задачи:
• анализ предметной области посредством изучения литературы по теме исследования;
• реализация базовых моделей диффузионных процессов (ВиттенаСандера, DLCA);
5• реализация различных вариаций базовых моделей с параметрами среды;
• получение численных характеристик изображений, рассматриваемых как фазовые портреты изучаемой системы, на основе определения фрактальных размерностей
Купить