1. Введение 3
2. Основные понятия и теоремы 5
2.1. Система с переключениями 5
2.2. Система с запаздыванием 7
3. Обзор литературы 9
4. Система с переключениями 11
4.1. Постановка задачи 11
4.2. Полученные результаты 11
4.2.1. Необходимые условия абсолютной устойчивости 12
4.2.2. Достаточные условия абсолютной устойчивости 15
5. Системы с запаздыванием 20
5.1. Постановка задачи 20
5.2. Условия существования диагональных функционалов Ляпунова — Красовского 21
5.2.1. Системы с якобиевыми матрицами 21
5.2.2. Условия диагональной устойчивости матриц третьего порядка со специальной структурой 28
6. Заключение 36
Список литературы 37
Одной из важнейших задач современной теории управления является анализ устойчивости различных классов нелинейных систем [11]. В данной работе исследуются условия устойчивости для некоторых классов нелинейных систем. Предполагается, что функции, входящие в правые части рассматриваемых уравнений, удовлетворяют ограничениям секторного типа [1]. Такие функции называются допустимыми. Можно выделить две основные задачи.
Первая задача заключается в исследовании условий асимптотической устойчивости нулевого решения для одного класса нелинейных систем с переключениями. Системы с переключениями широко используются в задачах управления технологическими процессами, механическими системами, а так же во многих других областях [1, 10]. Система такого типа представляет собой гибридную динамическую систему, включающую в себя семейство непрерывных по времени подсистем, а также закона переключения между ними [1]. Переключения могут быть обусловлены внешними возмущениями или же задаваться управлением. В каждый момент времени активна только одна из подсистем семейства. Зачастую при проектировании управляемой системы необходимо обеспечить её устойчивость для любых допустимых переключений [1, 10]. Данная проблема является актуальной, если изначально закон переключений неизвестен. Необходимым, но не достаточным условием устойчивости системы является устойчивость каждой подсистемы семейства [1]. Для исследования необходимых условий к соответствующим линейным подсистемам применяется критерий Гурвица [4]. Для получения достаточных условий устойчивости эффективным средством является прямой метод Ляпунова. Существование общей для всех подсистем функции Ляпунова гарантирует асимптотическую устойчивость равномерную относительно закона переключения [1].
Во второй задаче рассматриваются условия асимптотической устойчивости нулевого решения для некоторого класса нелинейных систем с постоянным запаздыванием. Далеко не всегда реальные динамические системы могут быть описаны системами обыкновенных дифференциальных уравнений, поэтому зачастую при моделировании динамических процессов используются системы с запаздыванием [2]. Запаздывание возникает тогда, когда динамика системы зависит не только от ее состояния в текущий момент времени, но и от положения системы в некоторый предыдущий момент времени [2]. Такие системы используются для моделирования биологических сообществ, применяются в экологии, экономике, инженерии и многих других областях [2, 3, 9]. Устойчивость систем с запаздыванием также является актуальной проблемой теории управления. В данной работе рассматриваются как системы с запаздыванием без переключений, так и системы с запаздыванием и с переключениями. Анализ устойчивости основан на использовании прямого метода Ляпунова и функционалов Ляпунова — Красовского [2]. Найдены условия существования диагональных функционалов Ляпунова — Красовского.
Выполнение полученных условий гарантирует, что нулевые решения изучаемых систем будут являться асимптотически устойчивыми при любых допустимых нелинейностях, переключениях и при произвольном неотрицательном запаздывании.
В данной работе были получены необходимые условия абсолютной устойчивости и достаточные условия диагональной устойчивости для одного класса нелинейных систем с переключениями.
Также была рассмотрена нелинейная система с запаздыванием с якобиевой матрицей коэффициентов при нелинейностях, для которой были установлены достаточные условия диагональной устойчивости. Кроме того, для частного случая такой системы был получен критерий диагональной устойчивости. Помимо этого, была рассмотрена система, в которой, наряду с постоянным запаздыванием, имеют место допустимые переключения. Для этого случая были получены достаточные условия диагональной устойчивости.
Были также рассмотрены два специальных случая систем третьего порядка с запаздываниями и найдены критерии их диагональной устойчивости.
Все полученные условия являются конструктивно проверяемыми и их выполнение гарантирует абсолютную устойчивость рассматриваемым системам.
Часть результатов выпускной квалификационной работы была представлена на международной конференции "Процессы управления и устойчивость. Control Processes and Stability. CPS’15". По результатам конференции была опубликована статья [19]. Также часть результатов была представлена на международной конференции "Процессы управления и устойчивость. Control Processes and Stability. CPS’16". Материалы доклада приняты к печати.
