1 Введение 4
2 О влиянии неоднородности пластины на её прогиб 6
2.1 Форма прогиба 6
2.2 Величина прогиба 6
3 Сравнение прогибов пластин, полученных по различным теориям 9
3.1 Теория Кирхгофа - Лява 9
3.2 Теория С.А. Амбарцумяна 10
3.3 Теория Родионовой - Титаева - Черныха 10
4 Заключение 12
5 Список литературы 13
Изучение биомеханики глаза важно для понимания механизма развития многих заболеваний, для разработки экспериментальных моделей и внедрения новых технологий. Новые знания в этой области позволят улучшить диагностику различных заболеваний и развить новые методы лечения.
Одной из таких болезней является глаукома. Это распространённое заболевание, приводящее в некоторых случаях к потере зрения. Известно, что при глаукоме атрофия нервных волокон происходит на уровне решётчатой пластины (далее РП) диска зрительного нерва глаза человека.
Рисунок. Строение человеческого глаза.
РП представляет собой участок склеры (внешняя оболочка глаза), находящийся напротив роговицы, представляет собой участок склеры Эти отверстия занимают примерно 3 всей площади РП.
РП играет важную роль в балансе между внутриглазным и внутричерепным давлением. Когда баланс нарушается и внутриглазное давление превосходит внутричерепное, РП терпит деформации и развивается глаукома. Для офтальмологов важно уметь предсказывать, когда пациент находится в группе риска до того, как проявятся первые признаки болезни.
В связи с этим важной является задача о деформации РП. При больших прогибах РП может происходить потеря устойчивости осесимметричной формы, что соответствует отекам на краю РП, которые наблюдаются при глаукоме.
РП моделируется как трансверсально изотропная пластина с жестко закрепленными краями, загруженная нормальным давлением. У большинства людей плотность пор на РП возрастает к периферии, но иногда отверстия расположены равномерно. Исходя из этого, есть смысл моделировать пластину как неоднородную, то есть рассматривать модуль упругости (модуль Юнга) как функцию, зависящую от координат.
Вопрос о существовании несимметричных решений у симметрично загруженной круглой пластины был впервые рассмотрен в [1]. Исследуя большие прогибы пластины, загруженной постоянным давлением, авторы, с помощью метода Галеркина, приводят решение, соответствующее несимметричным формам равновесия. Однако, эта задача была решена неточно.
Строгое доказательство существования несимметричного решения было приведено в [2], а единственность доказана в работе [3]. В работах [4-5] для пологой сферической оболочки и круглой пластины при различных условия закрепления и нагружения определены значения критической нагрузки, при которой происходит переход от симметричной формы равновесия к неосесимметричной. Эти прогибы оказались гораздо больше, чем полученные в [1].
В связи с тем, что у РП присутствует сильная анизотропия Etan/Eh << 1, и в связи с неоднородностью пластины интересно рассмотреть решение задачи о деформации РП с использованием неклассических теорий оболочек.
В заключение можно сказать, что нельзя игнорировать неоднородность пластины, поскольку она существенно влияет на форму и величину прогиба. Особенно это заметно, если закон, по которому задается неоднородность — экспоненциальный. При линейном законе существуют точки, в которых однородная и эквивалентная ей неоднородная пластины ведут себя одинаково, но в общем случае неоднородность оказывает большое влияние на деформации, особенно вблизи края пластины.
Что касается выбора теорий, то при больших прогибах важно рассматривать не только срединную плоскость пластины, поскольку при больших деформациях волокна зрительного нерва подвергаются сдавливанию и сдвигу.
Неклассические теории, учитывающие свойства пластины в направлении её толщины, позволяют получить больший по величине прогиб.
