Введение 4
Уравнения равновесия 5
Преобразование системы уравнений 7
Внутренняя потеря устойчивости. 8
Локализованные формы потери устойчивости в окрестности края по
модели КЛ. 10
Локализованные формы по модели ТР. 13
Предельный переход от модели ТР к модели КЛ. 19
Предельный переход при q 0. 19
Заключение
Литература
Исследование устойчивости круговых цилиндрических оболочек при осевом сжатии является одним из важных этапов их расчета. Первые экспериментальные работы были выполнены Лилли [1] и Маллоком [2] в 1908 году. Классическая формула для критической нагрузки при потере устойчивости тонкой круговой цилиндрической оболочки средней длины при осевом сжатии была получена Лоренцем [3] и Тимошенко [4]. В дальнейшем устойчивость цилиндрической оболочки при осевом сжатии была детально исследована в различных постановках. Исследовалось влияние длины оболочки, способа ее закрепления, моментности начального напряженного состояния, начальных несовершенств формы, нелинейных эффектов, динамических и параметрических нагрузок и др. (см. обзоры [5,6]).
Здесь исследуются локализованные вблизи края формы потери устойчивости, связанные со слабым закреплением края. Ишлинский [7] первым обратил внимание на возможность локализованной потери устойчивости сжатой пластины со свободным краем, сопровождающейся снижением критической нагрузки. При этом снижение нагрузки оказалось незначительным (менее 1 %). Для оболочек со свободным краем снижение нагрузки может быть в 2 раза и более, что впервые установлено в работах Нахбара и Хоффа [8] и Кильчевского [9]. В дальнейшем было показано, что не толь¬ко свободный, но и слабо закрепленный край порождает локализованную форму потери устойчивости [6, 10-12]. Обнаружено 7 вариантов граничных условий, при которых возможно появление локализованной формы.
Сказанное выше относится к изотропным оболочкам, и упомянутые выше результаты были получены исходя из двухмерной модели Кирхгофа- Лява (КЛ). Оболочки, изготовленные из трансверсально изотропного материала с относительно малым модулем поперечного сдвига, проявляют ряд особенностей при потере устойчивости при осевом сжатии. При этом для получения корректного результата двухмерная модель КЛ оказывается недостаточной, лучшие результаты дает модель Тимошенко-Рейсснера (ТР), учитывающая поперечный сдвиг. Обсуждение погрешности этих моделей содержится в работах [13-15]. Наряду со снижением нагрузки при малой жесткости на поперечный сдвиг возможно появление форм потери устойчивости, локализованных вблизи боковых поверхностей цилиндра, а также потеря устойчивости самого материала [14-16].
В работе [17] построены локализованные формы потери устойчивости трансверсально изотропной цилиндрической панели со слабо закреплен-ным прямолинейным краем. Данная работа в значительной мере повто¬ряет метод исследования работы [17]. В ней построены локализованные вблизи криволинейного края формы потери устойчивости трансверсально изотропной цилиндрической оболочки при осевом сжатии. Найдены варианты граничных условий, допускающих указанную локализацию.
Найдена критическая нагрузка и форма потери устойчивости круговой трансверсально изотропной цилиндрической оболочки при осевом сжатии. Предполагается, что криволинейный край оболочки слабо закреплен или свободен. При этом возможно появление формы потери устойчивости, локализованной вблизи этого края, с одновременным снижением критической нагрузки. Ранее эта задача была решена исходя из двухмерной модели КЛ. Здесь предполагается, что жесткость на поперечный сдвиг мала, и для решения используется модель ТР.
Безразмерная критическая нагрузка A(g,g) зависит от двух основных безразмерных параметров — параметра волнообразования в окружном на-правлении q и параметра поперечного сдвига д. При волнообразовании внутри оболочки имеет место осесимметричная потеря устойчивости {q = 0). Пр и д = 0 имеем классическое значение нагрузки А = 1, полученное исходя из модели КЛ. С ростом д (или с уменьшением жесткости на поперечный сдвиг) нагрузка убывает по линейному закону (А = 1 — 0.5g) вплоть до значения д « 1. Пр и д > 1 материал теряет устойчивость.
Если край оболочки свободен или слабо закреплен, возможна потеря устойчивости по форме, локализованной вблизи этого края. По модели ТР деформация краевого элемента описывается 5-ю обобщенными координатами, поэтому рассмотрены 25 = 32 возможных варианта граничных условий в зависимости от того, закреплены или свободны эти координаты. В 15 вариантах возможна локализованная вблизи края потеря устойчивости, и исследовано поведение функций X(q,g~).
Исследована роль пятого граничного условия в модели ТР, которое отсутствует в модели КЛ. Установлено, что если выполнено граничное условие Н = 0, то пр и д 0 результаты по модели ТР переходят в аналогичные результаты модели КЛ. Если задано закрепление ф2 = 0, то модель ТР при д 0 дает новые по сравнению с моделью К Л результаты.
