Рассмотрим оператор L на отрезке [a; b], порождаемый дифферен-
циальным выражением порядка n ⩾ 2
ℓ = (-i)nDn +∑ k=0 n-2 pk(x)Dk
(здесь pk E L1(a; b) – комплекснозначные функции) и граничными условиями
(Pj (D)y)(a) + (Qj (D)y)(b) = 0; j = 0; . . . ; n -1, (1)
(Pj и Qj – полиномы степени меньше n с комплексными коэффициен-
тами). Обозначим через dj наибольшую из степеней Pj и Qj , aj и bj
– коэффициенты при степени dj у полиномов Pj и Qj соответственно
(таким образом, aj и bj не могут одновременно обращаться в нуль).
Будем считать систему граничных условий (1) нормированной (это
означает, что ∑ j=0 n-1 dj является минимальной среди всех систем гранич-
ных условий, которые могут быть получены из (1) невырожденными
линейными преобразованиями; см. [4, гл. II, x4], а также [10] в случае
более общей постановки).
Предположим, далее, что система (1) регулярна по Биркгофу (см.
[4, гл. II, x4]). Тогда оператор L имеет дискретный спектр1, который мы
будем обозначать {AN}∞ N =1 . В дальнейшем мы всегда будем нумеровать
собственные числа в порядке возрастания модулей с учетом кратности
(т.е. |AN| ⩽ |AN+1|).
Обозначим через Q оператор умножения на конечный (комплекс-
ный) заряд q (пространство таких зарядов будем обозначать M[a; b]).
Тогда оператор Lq = L + Q также имеет дискретный спектр, который
мы будем обозначать {AN (q)}∞ N =1 .
Нас будет интересовать регуляризованный след
S(q) := ∑ ∞ N =1 [AN (q) -AN -1/(b-a) ∫ b a q(dx)].
Не умаляя общности, в дальнейшем будем считать, что ∫ b a q(dx) = 0.
Впервые формула регуляризованного следа была получена в 1953
году И. М. Гельфандом и Б. М. Левитаном для задачи
-y′′+ q(x)y = Ay; y(0) = y(π) = 0: (2)
Именно, в работе [2] было показано, что при вещественной q(x) E C1[0; π]
справедливо соотношение
S(q) = - (q(0)+q(π))/4. Статья [2] породила многочисленные усиления и обобщения. Обзор ре-
зультатов в задаче о вычислении регуляризированного следа можно
найти в статье В. А. Садовничего и В. Е. Подольского [9].
В недавней работе А. И. Назарова, Д. М. Столярова и П. Б. За-
тицкого [6] для произвольного n ⩾ 2 и регулярных граничных условий
была получена формула
S(q) = фa(a+)/2n * tr (A) + фb(b-)/2n *tr(B). (3)
в предположениях, являющихся сейчас стандартными2: q E L1(a; b), и
функции
фa(x) = 1/(x -a) ∫ x a q(t)dt, фb(x) = 1/(b-x) ∫ b x q(t)dt (4)
имеют ограниченную вариацию в точках a и b соответственно. В фор-
муле (3) A и B – матрицы, элементы которых выражаются через ко-
эффициенты aj и bj , j = 0; . . . ; n -1. Более того, в [6] было показано,
что в важном частном случае почти разделенных граничных усло-
вий множители tr (A) и tr (B) в (3) упрощаются и выражаются через
суммы степеней полиномов Pj и Qj .
Принципиально новый эффект был обнаружен уже в нашем веке
А. М. Савчуком и А. А. Шкаликовым [7, 8]. Именно, оказалось, что
если в задаче (2) q E M[0; π] – заряд, локально непрерывный в точках
0 и π, то
S(q) = - (q(0)+q(π))/4 -1/8 ∑ j h 2 j, (5)
где hj – скачки функции распределения заряда q (ряд S(q) в этом случае
суммируется методом средних).
Таким образом, при q 2 M[a; b] регуляризованный след перестает
быть линейным функционалом от q. Для #-потенциала этот эффект
был получен при некоторых других граничных условиях в работе [3].
В 2016 году было получен результат [1], продолживший работу А. М.
Савчука и А. А. Шкаликова, а именно, был доказан аналог формулы
(5) для произвольных регулярных граничных условий.
В настоящей работе мы приводим результат, обобщающий формулу
(3) на случай оператора L порядка n # 3 с произвольными регулярными
граничными условиями и q 2 M[a; b].
Статья организована следующим образом. В x1 сформулированы ос-
новной результат и несколько промежуточных утверждений. Эти утвер-
ждения доказываются в §§2-3. Главный результат работы доказан в
x4. В x5 приводится пример, подтверждающий принципиальную новиз-
ну исследуемого эффекта.
Введем некоторые обозначения. Полную вариацию заряда q обозна-
чим ∥q∥. Определим также функцию распределения
Q(x) = ∫ [a;x] q(dt):
Оператор, порожденный дифференциальным выражением l0 = (-i)nDn
и регулярными условиями (1), обозначим L0, а его собственные числа
– {A 0 N}∞ N=1.
Далее, G0(x; y; A) – функция Грина оператора L0 -A (см. [4, гл. I,
§3]). Заметим, что резольвента 1/(L0-A) - интегральный оператор с ядром
G0(x; y; #), и определим его след
Sp 1/ (L0 -A) = ∫ b a G0(x; x; A) dx.
Для произвольной функции #(#), определенной на комплексной плос-
кости C, введем функцию ~#(z) следующим образом:
~#(z) = #(#); где z = # 1 n ; Arg(z) 2 [0; 2# n ):
Напомним определение суммирования ряда методом средних (мето-
дом Чезаро порядка 1). Пусть Iℓ – последовательность частных сумм
ряда ∑ j aj . Ряд называется суммируемым методом средних, если суще-
ствует предел
(C; 1) - lim ℓ!1 Iℓ := (C; 1) - ∑ ∞ j=1 aj := lim k→∞ 1/k k∑ ℓ=1 Iℓ.
Все положительные константы, значения которых нам не важны,
обозначаются буквой C.
Спасибо А.И. Назарову за советы и поддержку.
В работе рассмотрена формула следа для дифференциального оператора на отрезке при возмущении младшего коэффициента конечным зарядом, доказаны соответствующие теоремы.
