Тема: АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ МЕТОДОВ РУНГЕ—КУТТЫ — ЧЕБЫШЁВА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

В связи с обширной спецификой применения дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом (ДУЗА) исследование численных методов для их решения крайне важно. Многочисленные процессы, которые основаны на передаче энергии, массы и информации, связаны с проблемой запаздывания. Его причиной могут являться различные ситуации: ограничение скорости распространения взаимодействия, наличие инерционности некоторых элементов и многие другие. Таким образом, системы запаздывающего типа неизбежно появляются при построении математических моделей во многих научных областях. Особенно часто они используются биологии, экологии и медицине [1], но также находят широкое применение в математической физике, химии, экономике, физике и инженерии [2, 3], причём в последних нередко встречаются уравнения в частных производных, включающие в себя запаздывание. В частности, нам интересны параболические уравнения такого вида (см. напр. [4-6]).
Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), собственные числа которых сильно вытянуты вдоль действительной отрицательной полуоси и имеют небольшие мнимые части, которые в частности получаются после дискретизации по пространству параболических уравнений, существуют явные стабилизированные методы Рунге —Кутты, которые по аналитической форме их функции устойчивости называются методами Рунге —Кутты —Чебышёва. Основной мотивацией настоящей работы послужило исследование Ё. Комори, А. С. Еремина и К. Бёрриджа [7], в котором рассматривается устойчивость и применимость чебышёвских методов для стохастических уравнений с запаздывающим шумом. Однако в этой работе не рассматривается запаздывание в детерминистической части. Первым шагом к исследованию свойств методов для решения стохастических уравнений с запаздываниями как в шуме, так и в детерминистической части, должен послужить анализ методов на полностью детерминистических ДУЗА.
К сожалению, если такой анализ и проводился, его результаты, видимо, не были опубликованы. Настоящая работа восполняет этот пробел.
В работе сначала приводятся методы Рунге — Кутты — Чебышёва для ОДУ, а во второй главе рассматривается два варианта их расширения для интегрирования ДУЗА с постоянным запаздыванием. В третьей главе про-водится анализ устойчивости и приводятся области устойчивости изучаемых методов при действительных коэффициентах тестового уравнения.
Поскольку области устойчивости обычных методов Рунге — Кутты — Чебышёва при некоторых значениях коэффициентов тестового ОДУ сужаются до одной точки, что, как будет показано, сохраняется и для ДУЗА, в работе также рассматриваются модифицированные методы, получаемые введением так называемого демпфирования. Области таких методов чуть короче, но избавлены от упомянутого недостатка. Оказывается, что для ДУЗА можно естественным образом определить понятие «оптимального» коэффициента демпфирования, аналогично тому, как это сделано в [7] для стохастических ДУЗА. Этому вопросу посвящена четвёртая глава работы.
Для проверки построенных областей в пятой главе приводится численное тестирование методов.
Купить

В данной работе был проведён анализ по исследованию области устойчивости метода Рунге — Кутты — Чебышёва для решения дифференциальных уравнений с запаздываниями при изменении различных параметров (коэффициента демпфирования и количества этапов метода). Анализ был проведён для двух способов нахождения численного решения данным методом: с использованием ранее найденных значений Kи интерполяции.
Сначала были построены области устойчивости, которые были получены теоретическим путём с помощью метода, изложенного в книге [11]. После все области были проверены с помощью программы, реализованной на языке программирования MATLAB. Так было доказано, что все области являются верными.
Поэтому итогом работы являются как рекомендация по использованию метода Рунге —Кутты —Чебышёва для решения ДУЗА (область устойчивости при решении указанным методом с интерполяцией больше), так и программный продукт для решения данного вида уравнений.

Купить