1. Введение 2
2. Пример для p = (n−1)/2 3
3. Некоторые сведения об анизотропных пространствах 3
3.1. Анизотропные пространства Лебега и Соболева 3
3.2. Анизотропные версии известных теорем 4
3.3. Полезные леммы 5
4. Доказательство при p > (n−1)/2 5
4.1. Случай гладкого решения 6
4.2. Случай слабого решения 10
5. Список литературы 12
Рассматривается система
−∆u + b · ∇u = 0
(1)
div b = 0
где функции u : Ω → R — неизвестная и b : Ω → Rn — данная по условию, Ω ⊂ Rn открытое и ограниченное, n > 3. Пытаемся найти какие-нибудь ограничения на функцию b, а точнее, принадлежность некоторому классу функций (например Lp), чтобы решение системы u обязательно было «достаточно хорошим» (например из L∞).
Написанная выше система — это понимание задачи в сильном смысле, когда ищем такие u ∈ C2, чтобы уравнения выполнялись поточечно. Но часто разумно решать задачу и в слабом смысле тоже (и искать слабое решение u ∈ W 1 2 для b ∈ L2), а именно, чтобы ∀η, ν ∈ C∞ 0 (Ω) выполнялось
∫ Ω ∇u · (∇η + bη) dx = 0
(2)
∫ Ω b · ∇ν dx = 0
На данный момент известно, что если b ∈ Lp при p > n/2 , то обязательно u ∈ L∞ и есть контрпример для b ∈ Lp при p < n−1 / 2 , в котором u /∈ L∞ [NFTS].
Мы рассмотрим частный случай, когда b имеет фиксированное направление — вдоль оси z, и для него окажется, что при p = n−1 / 2 есть пример с u /∈ L∞ (который будет примером и в общем случае), а также окажется, что при p > n−1 / 2 обязательно будет u ∈ L∞.
В нашем случае, когда ~b(x) = a(z, x′)~ez (мы для удобства считаем координату z первой координатой в пространстве, а остальные координаты собираем в вектор x′), условие div b = 0 превращается в ∂z a(z, x′) = 0. Это означает, что функция a зависит только от x′ — и потому мы будем писать ~b(x) = a(x′)~ez и рассматривать вместо условия b ∈ Lp(Rn ∩ Ω) условие a ∈ Lp (({0} × Rn−1) ∩ Ω), и в силу ограниченности Ω ничего тем самым не потеряем. Иногда будем обозначать r = |x′|.
После сделанных переобозначений, сильная версия задачи превращается в
− ∆u(z, x′) + a(x′)∂z u(z, x′) = 0, (3)
а слабая в
∫ Ω (∇u(z, x′) · ∇η(z, x′) + a(x′) · η(z, x′) · ∂z u(z, x′)) dzdx′ = 0 (4)
Решать задачу мы будем для Ω = Cyl1 — единичный цилиндр с центром в нуле; имеется в виду такое множество: CylR = (−R; R) × BR(Rn−1). Но для удобства вычислений пример приведём для Cyl0,1 — ясно, что масштаб тут не имеет значения.
