Тема: Анализ и оптимизация явных методов Рунге – Кутты повышенного порядка точности

Задачей Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений описываются разные процессы в науке и технике. Только в малом числе возможных случаев можно получить ее аналитическое решение. В связи с этим разработка и исследование численных методов решения задачи Коши в настоящее время являются актуальными в вычислительной математике.
Необходимость в решении задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений возникает и при дискретизации уравнений в частных производных методом прямых. В этом случае становится особенно актуальной проблема устойчивости метода. Как правило, число неизвестных в таких системах совпадает с числом узлов сетки, так что они имеют большую размерность. В связи с этим, для подобных систем предпочтительно использовать явные методы, более простые и менее затратные в реализации, но, как правило, условно устойчивые.
В Главе 1 приведен обзор литературы: рассматриваются некоторые численные методы решения задачи Коши, а именно: метод рядов Тейлора, явные методы Рунге-Кутты. Рассматриваются такие понятия, как порядок точности и число этапов метода и их зависимость от параметров метода. Рассмотрена процедура построения методов. Приводятся определения функции устойчивости и области устойчивости. Приводятся формулы для методов повышенного порядка точности, построенных с использованием производных правых частей однородного дифференциального уравнения. Также в этой главе поставлены цель работы и задачи, необходимые для достижения этой цели.
В Главе 2 рассматриваются явные методы Рунге-Кутты повышенного порядка точности. Описывается выбранный подход к стабилизации методов путем максимизации площади области устойчивости или ее протяженности по отрицательной вещественной полуоси. Определяются входные параметры. Приводится наглядное сравнение функций устойчивости обычных методов и методов повышенного порядка точности. Показывается, какие параметры выбираются в качестве входных. Проводится решение задач максимизации и для визуального сравнения приводятся графики границ областей устойчивости, соответствующих оптимальным параметрам, и значениям параметров, указанным в литературе.
В Главе 3 при решении тестовых задач показано, что предложенные подходы к максимизации площади и протяженности области устойчивости действительно позволяют улучшать практическую устойчивость методов. При исследовании сходимости построенных разностных схем показывается, что погрешность численного решения уменьшается при измельчении сетки.
Купить

Таким образом, в работе получены следующие результаты:
1. На примере явных методов повышенного порядка точности апробирован подход к стабилизации методов Рунге-Кутты.
2. Определены значения параметров методов Рунге-Кутты повышенного порядка точности, использующих первую, вторую и третью производные, при которых достигаются максимальные значения площади области устойчивости и её протяженности по отрицательной вещественной полуоси.
3. Решены тестовые задачи.
По полученным результатам можно сделать следующие выводы:
1. При решении задач показано, что предложенный подход действительно позволяет стабилизировать явные методы Рунге-Кутты.
2. Методы повышенного порядка точности могут успешно применяться при построении разностных схем для задач математической физики.

Купить