Данная работа посвящена одному из наиболее узнаваемых и красивых геометрических подходов к исследованию уравнений в частных производных — принципу максимума Александрова-Бакельмана.
Общая постановка принципа максимума
Сформулируем идею принципа максимума, с которым мы имеем дело, в наиболее общем виде. Пусть задана ограниченная область П С R"и некоторое банахово пространство U =F(П) С C (Q), вкладывающееся в пространство непрерывных на П функций. Пусть также заданы банаховы пространства Y0, Yi,..., YN, и для каждого из пространств Yi определён некоторый дифференциальный оператор Ф^ : U ^ Yi. Для правых частей y0 G Yo,... ,yN G YNрассмотрим систему уравнений относительно функций u G U:
'
Фои = У0
.Ф=■ (1)
ФМи = yN
Определение. Если для любых правых частей yi G Yi и для любого решения иG U системы (1) выполняется неравенство:
max |u| = ||u||C^
где N — некоторая величина, не зависящая от и, y0,... ,yN, то говорят, что данная задача удовлетворяет принципу максимума.
В левой части неравенства вместо нормы в C (Q) также может стоять максимум самой функции и, а неравенство может быть заменено на равенство. В качестве оператора Фо обыкновенно выступает дифференциальный оператор, заданный на области П, а операторы Фi при i ^ 1 могут задавать граничные условия. Утверждения такого рода называют априорными оценками на решения уравнений, поскольку правая часть никак не зависит от решения и G U.
Не существует единого подхода для доказательства данного факта на уровне функционального анализа. Каждая конкретная постановка задачи, каждый конкретный выбор функциональных пространств требуют индивидуального подхода. Изменение какого-нибудь из операторов Фi может изменить ответ на вопрос о выполнимости оценки. Тем не менее, получение принципа максимума — один из первых желаемых шагов в начале исследования конкретного класса уравнений.
Несмотря на кажущуюся простоту формулировки, из данного результата вытекает множество полезных фактов о структуре решений задачи. Например, принцип максимума для линейных дифференциальных операторов мгновенно влечёт выполненине теоремы единственности. В качестве иллюстрации приведём тривиальное доказательство данной импликации.
Лемма (Теорема единственности). Пусть для системы (1) выполняется принцип максимума и при этом операторы Ф^, i ^ 0 линейны. Тогда для любого набора правых частей y0 G Y0,... ,yN G YNсуществует не более одного решения u G U данной системы.
Доказательство
Пусть u1, и2— решения системы (1). В силу линейности операторов Ф^ выполняются равенства:
Ффи1- и2) = Ффи1) - Ффи2) = yi - yi =0Yi
Таким образом, элемент и1— и2G U является решением системы (1) с правыми частями 0Y1 G Yi.По принципу максимума имеем
|Р - и2^с(о) ^ N (X,Y0,...,YN,Ф0,..., фп) • (||0Y0 ||Y0 + + II0YJV IIYN ) = 0
что означает равенство решений и1= и2. □
Обзор литературы
Для линейных дифференциальных операторов второго порядка в недивергентной форме начало одному из самых красивых методов доказательства принципа максимума положил выдающийся ленинградский геометр Александр Данилович Александров. Его идеи в первую очередь основываются на геометрических соображениях, связанных с так называемым “нормальным отображением”, или “отображением годографа”, о котором будет подробно сказано ниже.
В середине XX века А.Д. Александровым была издана серия работ [4], полагающих основу для развития априорных оценок решений недивергентных уравнений. Параллельно с ним над теми же идеями трудился ещё один известный ленинградский геометр - Илья Яковлевич Бакельман. Первые результаты, касающиеся принципа максимума для эллиптических операторов, были опубликованы Александровым в краткой заметке [5] и Бакельманом в статье [12]. Несколькими годами позже Александровым была получена оценка максимума для эллиптических операторов более общего вида [6]. Развитие аналогичной теории для решений параболических уравнений началось с работ Николая Владимировича Крылова [13], [14].
Оценки Александровского типа для задач с граничными условиями, отличными от условий Дирихле, впервые были выведены в работах Николая Семёновича Надирашвили [16] и Александра Ильича Назарова [9]. Авторами были получены локальные оценки максимума в стационарной задаче с граничными условиями, заданными на части границы области посредством оператора первого порядка (т.н. задача с наклонной производной).
Наконец, для эллиптического уравнения с граничными условиями, заданными при помощи оператора второго порядка в форме Вентцеля (см. параграф 4), такую оценку впервые получили Yousong Luo и Neil Trudinger в [3]. Соответствующие результаты для параболической задачи были выведены Дарьей Евгеньевной Апушкинской в [11]. В работе [2] были установлены локальные оценки Александровского типа для решений двухфазных задач Вентцеля.
Постановка задачи
В последние годы весьма популярным направлением в уравнениях в частных производных стало исследование задач на множествах сложной структуры. Рассматриваются, например, множества с фрактальной границей и клеточные комплексы. В данной работе в качестве области определения функций выбирается стратифицированное множество, а именно, стратифицированное множество вида “книжка” (см. параграф 3). Оценка в двухфазной задаче, рассмотренной в [2], обобщается на случай множеств из этого класса. Основным результатом является доказательство локального принципа максимума типа Александрова-Бакельмана для набора эллиптических операторов второго порядка в недивергентной форме с ограниченными старшими коэффициентами и младшими коэффициентами из пространств Лебега, заданных на (п — 1)-мерной n-мерных компонентах стратифицированного шара.
Итак, мы доказали Теорему 5.1 о принципе максимума для семейства эллиптических операторов на стратифицированном множестве вида “книжка”. При этом, ограничения, накладываемые на сами операторы, были довольно слабыми: старшие коэффициенты ограничены, и младшие - из пространства Лебега соответствующей размерности. Как было показано во введении, из Теоремы 5.1 автоматически следует теорема единственности для соответствующей задачи. Кроме того, принцип максимума может быть применён для дальнейшего исследования свойств решений эллиптических и параболических операторов на стратифицированном множестве типа “книжка”.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
