📄Работа №127205
Тема: Исследование метода ортогональных коллокаций для решения задач оптимального управления
Характеристики работы
Тип работы
Магистерская диссертация
Предмет
Информатика и вычислительная техника
Объем:
38 листов
Год:
2022
Просмотров:
56
5600
руб.
🛒 Купить работу
Не подходит эта работа?
Закажите новую по вашим требованиям
Узнать цену на написание
Закажите новую по вашим требованиям
Представленный материал является образцом учебного исследования, примером структуры и содержания учебного исследования по заявленной теме. Размещён исключительно в информационных и ознакомительных целях.
Workspay.ru оказывает информационные услуги по сбору, обработке и структурированию материалов в соответствии с требованиями заказчика.
Размещение материала не означает публикацию произведения впервые и не предполагает передачу исключительных авторских прав третьим лицам.
Материал не предназначен для дословной сдачи в образовательные организации и требует самостоятельной переработки с соблюдением законодательства Российской Федерации об авторском праве и принципов академической добросовестности.
Авторские права на исходные материалы принадлежат их законным правообладателям. В случае возникновения вопросов, связанных с размещённым материалом, просим направить обращение через форму обратной связи.
Настоящий учебно-методический информационный материал размещён в ознакомительных и исследовательских целях и представляет собой пример учебного исследования. Не является готовым научным трудом и требует самостоятельной переработки.
📋 Содержание
1 Введение 2
2 Постановка задачи 3
3 Обзор литературы 4
4 Интерполяционный полином Лагранжа на равномерной и неравномерной сетках 5
4.1 Интерполяционный полином Лагранжа на равномерной сетке. Эффект Рунге 5
4.2 Интерполяционный полином Лагранжа на неравномерной сетке 9
4.3 Сравнение точности интерполяционных полиномов для различных типов сеток 14
5 Использование полиномов Лагранжа для решения дифференциальных уравнений 17
5.1 Метод численного решения дифференциальных уравнений с помощью полиномов Лагранжа 17
5.2 Описание вспомогательных функций 20
5.3 Решение дифференциального уравнения 22
6 Заключение 24
Список литературы 25
7 Листинги программ 27
2 Постановка задачи 3
3 Обзор литературы 4
4 Интерполяционный полином Лагранжа на равномерной и неравномерной сетках 5
4.1 Интерполяционный полином Лагранжа на равномерной сетке. Эффект Рунге 5
4.2 Интерполяционный полином Лагранжа на неравномерной сетке 9
4.3 Сравнение точности интерполяционных полиномов для различных типов сеток 14
5 Использование полиномов Лагранжа для решения дифференциальных уравнений 17
5.1 Метод численного решения дифференциальных уравнений с помощью полиномов Лагранжа 17
5.2 Описание вспомогательных функций 20
5.3 Решение дифференциального уравнения 22
6 Заключение 24
Список литературы 25
7 Листинги программ 27
📖 Введение
В основе метода решения задач оптимального управления лежат следующие три основных компонента: методы решения дифференциальных уравнений и интегрирования функций; метод решения системы нелинейных алгебраических уравнений; и метод решения задачи нелинейной оптимизации. Существует два подхода к численному решению задач оптимального управления: прямой и непрямой.
Методы решения дифференциальных уравнений и интегрирования функций необходимы для всех численных методов оптимального управления. В непрямом методе численное решение дифференциальных уравнений сочетается с численным решением систем нелинейных уравнений, а в прямом методе численное решение дифференциальных уравнений сочетается с нелинейной оптимизацией.
Ортогональная коллокация - это прямой метод численного решения дифференциальных уравнений. Он использует коллокацию в нулях некоторых ортогональных полиномов для преобразования дифференциального уравнения в набор обыкновенных дифференциальных уравнений. Затем эти ОДУ могут быть решены любым методом. Было показано, что обычно выгодно выбирать точки коллокации как нули соответствующего полинома Якоби. Метод особенно подходит для решения нелинейных задач и имеет преимущества высокой вычислительной точности и устойчивости по сравнению с традиционными разностными методами.
Методы решения дифференциальных уравнений и интегрирования функций необходимы для всех численных методов оптимального управления. В непрямом методе численное решение дифференциальных уравнений сочетается с численным решением систем нелинейных уравнений, а в прямом методе численное решение дифференциальных уравнений сочетается с нелинейной оптимизацией.
Ортогональная коллокация - это прямой метод численного решения дифференциальных уравнений. Он использует коллокацию в нулях некоторых ортогональных полиномов для преобразования дифференциального уравнения в набор обыкновенных дифференциальных уравнений. Затем эти ОДУ могут быть решены любым методом. Было показано, что обычно выгодно выбирать точки коллокации как нули соответствующего полинома Якоби. Метод особенно подходит для решения нелинейных задач и имеет преимущества высокой вычислительной точности и устойчивости по сравнению с традиционными разностными методами.
✅ Заключение
В результате проведенной работы получены следующие результаты:
1. Построены полиномы Лагранжа для тестовых функций с использованием равномерных сеток и с различным числом точек. Продемонстрирован феномен Рунге при увеличении числа узлов N. Предложено противодействовать эффекту Рунге, используя неравномерную сетку.
2. Построены полиномы Лагранжа с использованием неравномерных сеток Гаусса-Лежандра, Гаусса-Лежандра-Лобато и Гаусса-Лежандра-Радао. Из полученных результатов следует, что применение неравномерных сеток позволяет избежать появления эффекта Рунге. Проведено сравнение точности интерполяции на различных сетках и показано, что точность интерполяции для рассмотренных трех вариантов неравномерных сеток практически одинаковая.
3. Рассмотрен метод построения приближенного решения дифференциальных уравнений с использованием полиномов Лагранжа с неравномерной сеткой. Этот метод состоит в том, что решение дифференциального уравнения сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений. Для иллюстрации данного подхода, приведен пример решения дифференциального уравнения и выполнено сравнение с решением, полученным стандартным методом ode23 пакета MATLAB.
4. Разработаны программы в среде MATLAB для построения интерполяционных полиномов Лагранжа на равномерной и неравномерной сетках, а также для решения дифференциальных уравнений с использованием полиномов Лагранжа.
1. Построены полиномы Лагранжа для тестовых функций с использованием равномерных сеток и с различным числом точек. Продемонстрирован феномен Рунге при увеличении числа узлов N. Предложено противодействовать эффекту Рунге, используя неравномерную сетку.
2. Построены полиномы Лагранжа с использованием неравномерных сеток Гаусса-Лежандра, Гаусса-Лежандра-Лобато и Гаусса-Лежандра-Радао. Из полученных результатов следует, что применение неравномерных сеток позволяет избежать появления эффекта Рунге. Проведено сравнение точности интерполяции на различных сетках и показано, что точность интерполяции для рассмотренных трех вариантов неравномерных сеток практически одинаковая.
3. Рассмотрен метод построения приближенного решения дифференциальных уравнений с использованием полиномов Лагранжа с неравномерной сеткой. Этот метод состоит в том, что решение дифференциального уравнения сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений. Для иллюстрации данного подхода, приведен пример решения дифференциального уравнения и выполнено сравнение с решением, полученным стандартным методом ode23 пакета MATLAB.
4. Разработаны программы в среде MATLAB для построения интерполяционных полиномов Лагранжа на равномерной и неравномерной сетках, а также для решения дифференциальных уравнений с использованием полиномов Лагранжа.
ИЛИ
Поиск аналога
📕 Список литературы
🖼 Скриншоты
🛒 Оформить заказ
⚡ Работу высылаем в течении 5 минут после оплаты.