Новый подход к разработке численных решений интегральных уравнений часто связан с применением интерполяции. К известным методам решения интегральных уравнений Вольтерра второго рода относятся, прежде всего, метод трапеции и метод Симпсона. Метод трапеции довольно прост в использовании. Это следует отнести к преимуществам данного метода. Как известно, при проверке результата решения часто используется несколько различных методов. Поэтому желательно применять несколько различных методов для решения одного и того же уравнения. Следует отметить, что различные типы сплайнов довольно часто используются при решении задач интерполяции. Кратко напомним одну из главных причин их широкого использования.
Пусть Рп - интерполяционный многочлен, который решает задачу интерполяции Лагранжа, когда мы используем значения функции Рунге в равноудаленных узлах на интервале [-1,1]. Как известно (факт был установлен Рунге в 1901 году), верно следующее соотношение:
II f — Рп II ^ от гДе п ^ +“■
Таким образом, последовательность интерполяционных многочленов Рп не стремится к функции Рунге, когда n стремится к бесконечности. Таким образом, при решении различных задач математической физики широко используются сплайны. Следует отметить, что работы [1]-[34] относятся к числу множества работ, посвященных численным методам решения интегральных уравнений Вольтерра. В [1] авторы обсуждают сверхсходимость “интерполированных” решений коллокации для слабых сингулярных интегральных уравнений Вольтерра второго рода. В работе [2] рассматривается метод Рунге-Кутта 6-го порядка с семиступенчатым методом нахождения численного решения интегро-дифференциального уравнения Вольтерра. В работе [2] интегральный член в интегро- дифференциальном уравнении Вольтерра был аппроксимирован с использованием численного метода интерполяции Лагранжа. В работе [3] представлено численное решение интегральных уравнений Вольтерра-Фредгольма со слабой особенностью. В [3] представлен новый вычислительный метод, основанный на B-сплайнах. В работе [4] обсуждается численное решение класса слабых сингулярных интегральных уравнений Вольтерра. В работе [4] для решения проблемы сингулярности решения применяется дробная интерполяция Лагранжа, и разрабатываются эффективные методы граничных значений дробной коллокации. В работе [5] метод радиальных базисных функций используется для решения интегрального уравнения Вольтерра. Новый метод коллокации для численного решения интегральных уравнений Фредгольма, Вольтерра и смешанных уравнений Вольтерра-Фредгольма второго рода был представлен в работе [6]. В работе [7] было предложено квадратичное правило для численного решения линейных и нелинейных двумерных интегральных уравнений Фредгольма на основе квазиинтерполяции сплайнами.
Использование локальных полиномиальных и неполиномиальных сплайнов позволяет нам построить новые методы решения интегрального уравнения Вольтерра второго рода. В статье [8] обсуждается использование полиномиальных и неполиномиальных сплайнов третьего порядка аппроксимации. Эти сплайны показали хорошую численную устойчивость и подходят для построения решений как на однородной, так и на неоднородной сетке узлов.
В исследовании [11] предлагается применять методы машинного обучения при численном решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ODEs).
В статье [12] исследуется применение аппроксимаций с сохранением положительности для решения двумерной модели Лотки-Вольтерра "хищник-жертва", с мультипликативными «шумами».
Интегральные уравнения Вольтерра с вырожденными ядрами играют важную роль в теории эволюционирующих динамических систем в экономике, экологии и энергетике. В статье [13] представлена новая численная схема решения интегральных уравнений Вольтерра первого рода с кусочно-непрерывными ядрами. В статье [19] предлагается численная схема решения линейных интегральных уравнений Вольтерра первого род дробного порядка с кусочно-непрерывными ядрами. Разработанный подход основан на методе полиномиальной коллокации и эффективно аппроксимирует слабо сингулярные интегралы.
В работах [14], [18] исследуются стохастические интегральные уравнения Вольтерра, работы [15] и [17] посвящены численному решению линейных интегральных уравнений Вольтерра-Фредгольма второго рода. Эти интегральные уравнения обычно используются в математической физике для решения многих задач. Приведены численные примеры, проводится сравнение между численными результатами.
В статье [16] представлено решение задачи идентификации нелинейной системы на основе модели Вольтерра. В представленной работе для идентификации нелинейной системы с дискретным временем используется новый алгоритм оптимизации на основе совокупности, широко известный как алгоритм синус-косинуса (SCA).
Преимущества барицентрической рациональной интерполяции (BRI), введенной Флотером и Хорманном, включают стабильность интерполяции, отсутствие полюсов и высокую точность для любой достаточно гладкой функции. Авторы в статье [20] разрабатывают преобразованную схему BRI для решения двумерного дробного интегрального уравнения Вольтерра, решение которого может быть негладким, поскольку его производные могут быть неограниченными вблизи границы интегральной области.
В статье [21] представлен универсальный метод оптимизации структуры и мощности изолированных энергосистем на примере реальной туристической базы. Для оптимального управления процессами зарядки и разрядки, а также определения режимов работы аккумуляторных батарей использовалась модель, основанная на нелинейных интегральных уравнениях Вольтерра, которая учитывает нелинейную зависимость эффективности от состояния заряда.
В статье [23] вводится метод разделения шага 0 для решения стохастических интегральных уравнений Вольтерра с общими гладкими ядрами и приведены некоторые численные эксперименты для проверки теоретических результатов.
В исследовании [24] решение обратных переходных задач механики стержней основано на методе функций влияния. С его применением обратная задача сводится к решению системы интегральных уравнений типа Вольтерра первого рода во времени относительно искомой внешней осевой нагрузки упругого стержня.
В статье [25] представлена математическая модель операционного риска для расчета вероятности, которая представлена в виде интегро- дифференциальных уравнений Вольтерра и решается методом декомпозиции Адомиана, в [28] представлен метод для верификации численных результатов решения интегральных уравнений Вольтерра с вырожденными ядрами
Основной целью работы [26] является исследование приближенных решений нечетких интегральных уравнений Вольтерра (как линейных, так и нелинейных) с вырожденным ядром с помощью метода гомотопического анализа. В статье [27] приводится новый метод решения стохастических нелинейных интегральных уравнений Вольтерра с использованием операционной матрицы Лежандра.
В статьях [29] и [34] приведены эффективные численные методы для решения линейных интегральных уравнений Вольтерра и интегро- дифференциальных уравнений Вольтерра первого и второго рода с экспоненциальными, сингулярными, регулярными ядрами и ядрами типа свертки. Эти методы основаны на применении полиномов Лагерра и полиномов Тушара. Все вычисления и графики выполнены с применением программы MATLAB.
В статье [30] метод коллокации, основанный на двумерной барицентрической интерполяции Гегенбауэра, используется для решения специальных двумерных интегральных уравнений Фредгольма-Вольтерра.
В статье [32] исследуются линейные интегральные уравнения Вольтерра второго рода с разрывным ядром, полученные из задач выравнивания нагрузки и энергетической системы. Для решения этой задачи предложен метод гомотопических возмущений. В [33] авторы аппроксимируют общую неподвижную точку двух операторов, удовлетворяющих рациональным условиям сжатия, с помощью итерационных схем типа Юнга в комплекснозначных банаховых пространствах.
В данной работе локальные сплайновые аппроксимации используются для построения расчетных формул для решения интегрального уравнения Вольтерра. Здесь мы используем как полиномиальные, так и неполиномиальные сплайны четвертого порядка аппроксимации.
В разделе 1 обсуждаются свойства локального многочлена, полиномиально-тригонометрических сплайнов и интегродифференциальных сплайнов четвертого порядка аппроксимации.
В разделе 2 рассматривается использование для построения решения интегрального уравнения не только полиномиальных и неполиномиальных локальных сплайнов лагранжева типа, но и интегродифференциальных сплайнов четвертого порядка приближения. В результате интегро- дифференциальные сплайны дают меньшую погрешность, но в этом случае предполагается, что значения интегралов по интервалам сетки известны. Здесь также предлагается модификация метода Симпсона, в которой применяются сплайновые аппроксимации.
В вышеизложенном рассматривалось использование полиномиальных и неполиномиальных сплайнов четвертого порядка аппроксимации. Результаты численных экспериментов показали преимущество хороших аппроксимационных свойств. Полиномиально-тригонометрические сплайны давали меньшую погрешность, но для вычислений требуется больше знаков в мантиссе. В некоторых случаях значения интегралов могут быть известны. В этом случае могут быть применены интегро-дифференциальные сплайны (см. [8]).
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
