АННОТАЦИЯ 3
1. Введение 3
2. Основные результаты 4
3. Свойства IW и I0 W 6
3.1. Масштабирование 6
3.2. Конечность вторых моментов 7
3.3. Соотношения между iw и I0 W 9
3.4. Концентрация 10
4. Асимптотика 12
4.1. Lq сходимость 15
4.2. Cходимость почти наверное 15
4.3. Рост по n 18
5. Заключение 18
Список литературы 18
В одномерном случае натянутая струна определяется следующим образом: Пусть нам дан интервал [0, T ] и два непрерывных функциональных ограничения: g1(t) ≤ g2(t), 0 ≤ t ≤ T . Тогда функция h∗ называется натянутой струной, если она минимизирует следующий функционал, для любой выпуклой φ:
Fφ(h) =
Z T
0
φ(h′(t))dt
по всем абсолютно непрерывным функциям h, удовлетворяющим функциональным неравенствам:
g1(t) ≤ h(t) ≤ g2(t), 0 ≤ t ≤ T.
Среди возможных функционалов энергия R T 0 h′(t)2dt, вариация R T 0 |h′(t)|dt, длина траектории R T 0 √1 + h′(t)2dt. В работе мы будем рассматривать только энергию. Заметим, что для любой строго выпуклой φ минимум функционала Fφ существует и единственен, в том числе для энергии.
Данциг в статье [2] упоминает, что натянутые струны обсуждались в 1952 году на Беллмановском семинаре в RAND Corp. в связи с проблемами в оптимальном управлении. Позднее натянутые струны нашли применение в статистике, см. [1] и [6], обработке изображений [8] и теории коммуникации [7, 9].
В работе [ 4] рассматриваются струны, сопровождающие Винеровский процесс W (t) в полосе постоянной ширины r. В этом случае фунциональные неравенства g1(t), g2(t) принимают вид:
g1(t) = W (t) − r, g2(t) = W (t) + r
и изучается асимптотическое поведение энергии струны при T → ∞, см. [ 4, Теоремы 1.1, 1.2]. В статье [ 5] изучается асимптотическое поведение энергии струн, сопровождающих случайное блуждание, и в [ 10] обобщаются результаты [4] на полосу переменной ширины.
Мы рассматриваем многомерное обобщение натянутых струн, сопровождающих Винеровский процесс: пусть дан интервал [0, T ]. Многомерной натянутой струной, сопровождающей многомерный Винеровский процесс W (t) будем называть функцию h∗, минимизирующую следующий функционал:
Z T
0
∥h′(t)∥2
Rn dt
среди всех абсолютно непрерывных h ∈ AC([0, T ] → Rn), удовлетворяющих условию sup0≤t≤T ∥W (t) − h(t)∥Rn ≤ r. Про энергию многомерной натянутой струны мы доказываем результаты аналогичные [4 , Теоремы 1.1, 1.2]. Также мы устанавливаем некоторые оценки в зависимости от размерности.
Для натянутой струны, сопровождающей одномерный Винеровский процесс, были известны результаты, такие как Lq и п.н. сходимости [4] [Теоремы 1.1, 1.2]. В работе мы обобщили их на многомерный Винеровский процесс. Также мы изучили зависимость средней энергии от размерности.
