Данная работа является результатом четырехлетнего труда и представляет собой объединение нескольких самостоятельных научных исследований - четырех курсовых работ, которые я сдавал в конце каждого периода обучения на математико-механическом факультете СПбГУ со второго по пятый курсы. По результатам каждой главы написана отдельная статья и сделаны ряд докладов на международных и всероссийских конференциях.
Основной целью работы являлось решение нескольких механических задач: сравнение численного и аналитического решений при расчете деформации фермы, колебаний неоднородной ребристой пластины, расчет деформации композитной пластины под действием поверхностного заряда с использованием обоих методов исследования, задача о столкновении гиперскоростных частиц о пластины щита Уиппла, располагаемых на космических аппаратах. Численное решение рассмотренных задач выполнялось методом конечных элементов в программном комплексе Ansys. Вычисление математических выражений, полученных в ходе аналитических решений - в проприетарной системе компьютерной алгебры Wolfram Mathematica.
В современной промышленности, а также в авиационно-космическом машиностроении для облегчения массы основной конструкции часто используются тонкостенные элементы. В связи с этим обстоятельством, сразу встает вопрос о деформациях и возможном повреждении таких элементов при неизбежных столкновениях с внешними объектами. Поэтому, несомненно, весьма актуальными являются задачи, посвященные исследованиям деформаций и механизму разрушения тонких пластин (оболочек). Важная роль в решении таких задач отдается численному моделированию [9] - [16], [19], [26]. Однако, для проверки достоверности полученных численных результатов, если это становится возможным, рекомендуется проводить аналитические, иногда приближенные, расчеты [18], [27]. В данной работе в ряде задач (Главы 1 и 2) удалось получить аналитическое решение и провести сравнение аналитических и численных результатов.
Большее внимание в работе уделяется исследованиям деформации пластин, так как пластины играют важную роль в современном мире, они применяются во многих отраслях (строительстве, авиастроении, кораблестроении, ядерной, космической и многих других), часто являясь частью других конструкций: крыло самолета, обшивка здания, палуба и бортовые стенки корабля, стенки вагона. При этом все чаще отдается предпочтение неоднородным пластинам, которые обладают особыми свойствами и лучше подходят в определенных задачах. Широко используются композитные и армированные пластины, которые уже нельзя описывать однородной теорией. Неоднородные пластины - малоизученный объект в современной науке. Полная теория, которая бы описывала напряжения и деформации в таких телах не была разработана.
Непрекращающееся технологическое развитие ставит перед исследователями все более сложные задачи. Решение таких задач должно основываться на новых, еще не созданных, теориях и применять все достижения математического аппарата. Для прикладных задач наиболее часто прибегают к численному решению, как наиболее простому с точки зрения исследователя, но при этом, обладающему хорошей точностью. Одним из таких способов численного решения являются метод конечных элементов (FEM) и метод сглаженных частиц (SPH). Несмотря на высокую надежность таких решений, аналитические подходы все еще играют важную роль в решении любой задачи. Для решения прикладных задач лучше использовать оба метода исследования.
В первой главе работы был проведен сравнительный анализ деформации ферменной конструкции с использованием как аналитических, так и численных методов. Он показал хорошее совпадение результатов, полученных разными подходами. Во второй главе были исследованы деформации пластин при различных граничных условиях, был разработан метод аналитического подсчета частот колебаний неоднородных пластин с периодически изменяющимися параметрами. Третья и четвертая главы были посвящены исследованиям деформаций круглых композитных пластин под действием поверхностного заряда, а также защищенности космических аппаратов от мелкого высоко-скоростного космического мусора. Все эти задачи исследовались численными методами, при этом активно применялся аналитический подход. Полученные результаты свидетельствуют о том, что аналитические и численные расчеты должны проводиться в связке друг с другом, подтверждая достоверность исследований.
