Введение 3
Постановка задачи 5
Обзор литературы 6
Глава 1. Описание ROCK-методов 7
1.1 Устойчивость недемпфированных методов 7
1.2 Устойчивость демпфированных методов 10
Глава 2. Устойчивость ROCK-методов для ДУЗА 12
2.1 Линейная интерполяция 12
2.2 Анализ численной устойчивости для ДУЗА 13
2.3 Области Р-устойчивости 16
Глава 3. Среднеквадратичная устойчивость ROCK-методов 19
3.1 Модификация ROCK-методов для решения СДУ 20
3.2 Анализ численной устойчивости для СДУ 21
3.3 Области MS-устойчивости 23
Глава 4. Анализ устойчивость ROCK-методов для СДУЗА 26
4.1 Линейная интерполяция вычисленного решения 26
4.2 Анализ численной устойчивости СДУЗА 27
4.3 Иной подход к вычислению запаздывания в шуме 35
4.4 Анализ устойчивости новой модификации методов 36
Глава 5. Проверка областей устойчивости 43
Выводы 50
Заключение 52
Список использованных источников 53
Стохастические дифференциальные уравнения с запаздыванием аргумента (СДУЗА) являются обобщенным случаем стохастических дифференциальных уравнений (СДУ). Принимая во внимание эффекты задержки, они лучше согласуются с явлениями реального мира [1]. СДУЗА используются для построения моделей в различных областях науки и техники в таких как моделирование физиологических систем, нейронные сети, химическая кинетика, коммуникации [2].
Несмотря на развитие численного анализа СДУ в последние несколько десятилетий, стохастическими дифференциальными уравнениями с запаздыванием стали интересоваться не так давно. Мало исследований посвящено анализу устойчивости СДУЗА, особенно когда запаздывание находится в детерминистической или сразу в обеих частях уравнения.
Для явного интегрирования жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), чьи собственные числа располагаются преимущественно вдоль отрицательной вещественной части, существуют специальные стабилизированные методы. По аналитической форме функции устойчивости их называют методами Рунге-Кутты-Чебышёва. Одним из их вариантов являются так называемые ортогональные методы Рунге-Кутты- Чебышёва, или ROCK-методы (англ. orthogonal Runge-Kutta-Chebyshev).
Однако исследований касательно анализа устойчивости данных методов при решении стохастических дифференциальных уравнений с запаздыванием аргумента в обеих частях уравнения не проводилось.
В работе приводится описание методов ROCK первого порядка точности и их устойчивости для обыкновенных дифференциальных уравнений. Во второй и третьей главах рассматриваются устойчивости методов для дифференциальных уравнений с запаздыванием и стохастических дифференциальных уравнений соответственно. После этого в четвертой главе продемонстрированы результаты работы по анализу устойчивости модификаций методов для СДУЗА. Для проверки построенных областей устойчивости в пятой главе приводится численное тестирование методов.
Таким образом, итогами данной работы будут теоретическое исследование областей устойчивости и программа для решения СДУЗА ROCK-методами первого порядка с постоянной величиной шага.
Результатами работы является не только проведенный теоретический анализ модификаций ортогональных методов Рунге-Кутты-Чебышёва для СДУЗА, но и их программная реализация, которая может быть использована для решения реальных задач.
Были сформулированы достаточные условия устойчивости рассматриваемых методов для стохастических дифференциальных уравнений с запаздыванием в обеих частях. Данные результаты могут быть использованы для дальнейших исследований устойчивости не только ROCK-методов старших порядков [19, 20], но и других численных методов.
