1. Введение 3
1.1. Основные понятия и определения 3
1.2. Примеры 5
2. Частный случай 5
2.1. Функция числа обвалов 6
2.2. Солитоны 9
2.3. Существование паттерна 11
3. Обобщение результатов 12
Список литературы 14
1.1. Основные понятия и определения.
В нашей работе мы будем рассматривать песочные модели на подмножестве плоскости, а потому все определения будем давать для них.
Введём граф, у которого вершинами будут являться клеточки плоскости, и две вершины соединены ребром, если соответствующие им клеточки имеют общую сторону. Кле- точка(вершина) (i, j) это клеточка с центром (i + 0.5, j + 0.5). Рассмотрим на некотором подмножестве плоскости граф Г с целочисленными вершинами.
Определение 1.1. Состояние - это функция ф: Г ^ Z^o, которая будет вершинам графа ставить в соответствие количество песчинок в них.
Если количество песчинок в вершине больше 4, то мы называем такую вершину нестабильной и можем в ней произвести обвал.
При обвале в некоторой вершине (i,j) происходит следующее: количество песчинок в данной вершине уменьшается на 4, а в смежных с ней вершинах увеличивается на 1. Все вершины Z2 Г мы объявляем стоками, в которых запрещено делать обвалы и находящиеся в них песчинки мы не учитываем.
Определение 1.2. Релаксация - это процесс выполнения обвалов нестабильных вершин до тех пор, пока таковых не останется. Состояние, получившиеся после релаксации состояния ф, обозначается ф°.
Релаксация не зависит от порядка, в котором происходят обвалы вершин, и конечна при конечном количестве песчинок. Состояние, при котором мы не можем больше сделать обвалов, называется стабильным.
Мы можем ввести операцию сложения на множестве стабильных состояний. Это будет поточечное сложение с последующей релаксацией. Несложно показать, что множество стабильных состояний с данной операцией является моноидом.
Определение 1.3. Возвратное состояние ф - это состояние, при котором для любого ф существует такое неотрицательное состояние ф', что ф = (ф + ф')°.
Определение 1.4. Множество возвратных состояний с операцией сложения является минимальным идеалом моноида стабильных состояний, и потому оказывается абелевой группой, которая называется песочной группой этого графа и обозначается Г.
Определение 1.5. Единицей Крёйца в мы назовём состояние, которое в каждой вершине равно количеству рёбер из неё в стоки.
Замечание 1.6. Состояние (Кф)° является единицей песочной группы при достаточно больших K. Далее, мы будем пользоваться именно этим методом для эксперементального определения единицы. Из всех K мы выберем наименьшее, при котором (Кф)° является единицей песочной группы. Отметим, что в таком случае будет вершина, в которой мы не совершали обвалов, иначе мы можем уменьшить K и получить то же состояние.
В дальнейшем мы будем рассматривать песочную группу на скошенных цилиндрах, поэтому давайте дадим определение. Рассмотрим прямоугольник [1; w] х [1; l] с Z2. Мы соединяем две вершины ребром, если расстояние между ними равно одному. Введём параметр сдвига s и соединим ребром вершины вида (1,y) с вершинами (w,y + s)), где
Рис. 1. Единица Крёйца для С30,7,4
у е [1; l - s]. Всем вершинам w, для которых deg(w) < 4 мы добавим 4 - deg(w) рёбер, ведущих в сток. Таким образом, скошенный цилиндр задаётся тремя параметрами: длиной l, шириной w и сдвигом s. Мы будем обозначать цилиндр с данными параметрами следующим образом: Cl,w,s.
Пример 1.7. Приведём пример для С8,5,2. Синим цветом обозначены внутренние рёбра, зелёным - ведущие в сток, а красным - добавленные при склейке рёбра. Чтобы было понятно, как именно было добавлено ребро, мы проведём стрелочки:
Рис. 2. Так выглядят единицы песочных групп для: а) C20,5,3, b) C30,5,3, c) C90,5,3, d) 6*100,5,2, e) 6*90,7,3-
Для лучшей визуализации моделей мы будем красить вершины в разные цвета в зависимости от количества песчинок в них. Зелёным цветом обозначены вершины с нулём песчинок, жёлтым - с одной, синим - с двумя и красным - с тремя.
1.2. Примеры.
Приведём примеры единиц песочных групп для разных графов (Рис. 1.2).
Глядя на рисунки, можно заметить периодические части - паттерны, которые возникают при достаточно большой длине. Они заметны при любых значениях сдвига и ширины, однако наиболее красивые паттерны появляются при s = 3. Также можно заметить, что при увеличении ширины, увеличивается необходимая для их возникновения длина, так что мы будем рассматривать цилиндры с w = 5.
Итак, мы заметили, что при достаточно большой длине цилиндра возникают паттерны. Цель настоящей работы состоит в теоретическом обосновании этого факта.
При рассмотрении песочных моделей на подмножестве плоскости была достигнута цель работы, которая сводилась к теоретическому обоснованию, что при достаточно большой длине цилиндра возникают паттерны. Также осуществлена оценка роста M при увеличении L.
