Введение 4
Обзор литературы 5
Глава 1. Необходимые сведения из теории вероятностей, математической статистики, теории полезности и актуарной математики 7
§ 1.1. Теория вероятностей 7
§ 1.2. Страхование 9
§ 1.3. Статистика 9
§ 1.4. Теория полезности 10
§ 1.5. Актуарная математика 11
§ 1.6. Основные задачи актуарной математики 12
Глава 2. Построение и модификация одной актуарной модели 15
§ 2.1. Описание модели 15
§ 2.2. Базовые расчётах 15
§ 2.3. Модификация с вариативностью 16
§ 2.4. Модификация с полезностью 18
§ 2.5. Общая схема действий 20
Глава 3. Выбор в страховании 21
§ 3.1. Аксиоматическая теория выбора 21
§ 3.2. Вычислительные аспекты 25
§ 3.3. Принятие решений по схеме «обратной связи» 26
§ 3.4. «Схема» программы 27
§ 3.5. Смежные задачи 28
Заключение 31
Список литературы 32
В современном мире страхование считается неотъемлемой частью жизни как простых граждан, связанных обязательным и добровольным страхованием жизни, транспортных средств и проч., так и крупных транснациональных корпораций, страхующих свои производства, цепочки поставок и другие аспекты деятельности. В России общая сумма заключённых договоров страхования в 2020 году превысила 32 триллиона рублей ([1]).
Естественно, что в такой ситуации поддерживающие страховую деятельность математические расчёты в рамках актуарной математики видятся довольно актуальными и интересными для изучения, на что и нацелена данная работа.
Следуя основным принципам математического моделирования (в первую очередь - поиску баланса между применимостью и точностью) мы разбираем актуарную модель страхования жизни и модифицируем её, разбирая возникающие особенности.
Помимо этого в работе разбираются задачи выбора (в том числе интегрированные в страхование), которые являются одними из старейших в истории человечества. Этот факт вполне естественен, ведь необходимость выбрать то или иное направление действия постоянно встаёт перед каждым из нас.
Если же говорить о задачах выбора в чисто математическом смысле, то возникает некая проблема - недостаточная формализованность. Обычно потенциальным решениям задачи ставят в соответствие некоторые числовые функции, называемые критериями, которые количественно оценивают решения на основе их качеств. Но как можно понять, какой из критериев важнее?
Чаще всего используется т.н. взвешенная сумма критериев - каждому из них приписывается вес, символизирующий его важность, и всё это складывается; «оптимальным» признаётся решение с наибольшей суммой. Такой подход, несмотря на свою простоту и интуитивную понятность, так и не был строго формализован.
Существует, однако, и чисто математическое решение - аксиоматическая теория выбора, которая была разработана (и сейчас разрабатывается) на факулвтете ПМ-ПУ СПбГУ Ногинвхм В.Д. и Басковвхм О. А. Эта теория строится на некоторвхх проствхх и, в то же время, естественнвхх аксиомах, учитвхвающих то, как люди принимают решения в реалвности, и позволяет учитвхватв предпочтения конкретного лица, принимающего решение (ЛПР).
В работе мы посмотрим на то, как данный подход можно использовать в страховании и актуарных расчётах, равно как и затронем некоторвхе число технические аспекты, возникающие в связи с применением аксиоматической теории выбора. В частности, будут предложены «схема» программы сбора квантов, механизм принятия решений как страховой компанией, так и её клиентом по принципу «обратной связи», исследованы некоторые смежные задачи, вытекающие отсюда вычислительные алгоритмы и возможности их оптимизации.
К основным результатам работы относятся:
1. Мотивированный выбор и исследование инструментов различных математических областей, необходимых для решения прикладных задач актуарной математики;
2. Рассмотрение и модификация одной актуарной модели с проведением численных расчётов;
3. Прослеживание общей техники математического моделирования с прохождением всех её этапов;
4. Разбор применения аксиоматической теории выбора в страховании (и не только) и рассмотрение возникающих при таком подходе технических аспектов (вычислительно-алгоритмических);
5. Предложена схема «обратной связи» для принятия решений, соответствующих предпочтениям сторон;
6. По результатам работы к печати подготовлены статьи ([12], [13]) и представлены доклады на конференциях: L Международная научная конференция аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» Control Processes and Stability (CPS’19) и IV Stability and Control Processes Conference in memory of Prof. Vladimir Zubov.
