Введение 3
Обзор литературы 5
Глава 1. Необходимые сведения 6
§ 1.1. Теория вероятностей 6
§ 1.2. Страхование 8
§ 1.3. Статистика 9
§ 1.4. Теория полезности 9
§ 1.5. Актуарная математика 10
§ 1.6. Основные задачи актуарной математики 11
Глава 2. Эволюционный процесс построения одной актуарной модели 13
§ 2.1. Описание модели 13
§ 2.2. Начальные вычисления 13
§ 2.3. Небольшая вариативность 14
§ 2.4. Интеграция полезности 15
§ 2.5. Общая схема действий 18
Заключение 19
Список литературы 20
Актуарная наука является одной из наиболее динамически развивающихся математических областей в наше время, и на то существуют вполне естественные причины. Целью актуариев является управление рисками и снижение их негативных последствий. Бурное развитие экономики и глобализация производственных процессов приводят к увеличению общего числа рисков, а следовательно, к росту актуальности и объема работах актуариев.
Правильная оценка и нахождение путей подавления или сглаживания последствий рисков являются залогом практически полной непрерывности процессов производства и функционирования сферы услуг. По статистике в развитых странах страхуются практически все риски, о каких только можно помыслить (и ущерб от которых может быть выражен в валюте, об этом подробнее далее). В России с этим пока всё не так гладко - многие риски не страхуются даже не потому, что про них не знают, а потому, что рынок страхования не предоставляет соответствующих страховых продуктов (например, практически отсутствуют услуги страхования от перерывов в производстве или от убытков, связанных с отменой развлекательных мероприятий).
Процесс оценки рисков связан с процессом построения математических моделей соответствующих процессов. Как и всюду в математическом моделировании, одной из центральных задач здесь является сохранение баланса между сложностью модели (то есть возможностью проведения с ней практических расчётов) и близостью её к реальности (то есть соответствия реальному объекту и происходящим с ним процессами).
Одним из допущений, принимаемых в большинстве простых актуарных моделей, является неизменность процентной ставки. Кроме того, она предполагается известной на весь период моделирования. Как показывает практика, такое предположение совсем не соответствует действительности (см. таблицу [1]).
Таблица. Средняя процентная ставка по вкладам по всем российским банкам, отчёт ЦБ РФ, 2018
Месяц | Процентная ставка
Январь | 6,65
Февраль | 6,38
Март | 6,30
Апрель | 5,67
Май | 6,28
Июнь | 5,99
Июль | 6,30
Август | 7,18
Сентябрь | 6,09
Октябрь | 6,03
Ноябрь | 6,92
Декабрь | 6,69
Конец таблицы.
Данная работа рассматривает (после напоминания необходимых сведений из смежных областей) возможности модификации одной актуарной модели с включением в них вариативности процентной ставки. В настоящее время существует три основных сценария такого включения (будут описаны позже); мы рассмотрим наиболее простой.
Помимо этого, изучается идея включения средств теории полезности (в данном случае денег) в актуарные модели с целвю далвнейшего повышения их адекватности реалвности. Также проводится сравнение всех вышеописанных подходов (начальный, с вариативноствю, с полезноствю, с вариативноствю и полезноствю) на простых численных данных.
В целом можно сказать, что работа - суть эксперимент по построению реальной математической модели со всеми необходимыми этапами:
1. Изучение объекта моделирования в реальной жизни, сбор сведений о нём, выделение значительных свойств и параметров.
2. Подбор и описание необходимых математических инструментов; обоснование такого выбора; при необходимости - выработка новых теоретических подходов на основе существующих.
3. Непосредственное построение модели и проверка её на адекватность и применимость.
Модель, рассматриваемая в работе, относится к страхованию жизни, однако общие идеи могут применяться и в других областях страхования.
К основным результатам работы можно отнести:
1. Мотивированный выбор и исследование инструментов различных математических областей, необходимых для решения прикладных задач актуарной математики;
2. Рассмотрение и модификация одной актуарной модели с проведением численных расчётов;
3. Прослеживание общей техники математического моделирования с прохождением всех её этапов;
4. По результатам работы к печати подготовлена статья [8].
К недостаткам (= планам на будущее) работы следует отнести:
1. Рассмотрена только модель с дискретным временем, но не с непрерывным;
2. Не рассмотрена возможность использования нескольких выплат премии вместо одной;
3. Капитал страхователя считается постоянным, хотя он тоже меняется с течением времени;
4. Все страхователи предполагаются идентичными, однако же в реальности для каждого из них используются собственные характеристики (капитал, размер убытка, и, как следствие, размер премии);
5. Обойдена стороной статистическая сторона накопления и обработки данных;
6. Идея разделения страхователей на децили по доходам и использование для каждой своей функции полезности не использована;
7. Примеры в работе носят модельный характер.
