1 Введение 2
2 Цель работы 3
3 Аппроксимация сплайнами 4
4 Явная схема метода сеток 7
5 Распараллеливание 9
6 Модельные задачи 11
7 Методы, использованные для получения и анализа результатов 12
8 Результаты 15
8.1 Результаты первой модельной задачи 15
8.2 Результаты второй модельной задачи 16
8.3 Результаты третьей модельной задачи 27
9 Заключение 38
Список источников 39
В данной работе рассматривается уравнение теплопроводности с двумя независимыми переменными
du partial2u
partialt partialx2
где u = u(x,t) — искомая функция переменных x и t. Это уравнение — линейное дифференциальное уравнение второго порядка параболического типа. Далее рассматривается задача отыскания решений уравнения, определенных в замкнутом прямоугольнике плоскости
Q = {(x,t) : a < x leq b, 0 leq t leq T}
Дифференциальное уравнение имеет бесконечно много решений. Для того, чтобы из этого множества выделить одно решение, надо задать дополнительную информацию об искомом решении. Обычно такая информация задается в виде начального условия
u(x, 0) = u0(x)
и краевых условий
u(a,t) = psii(t),u(b,t) = psi2(t). (3)
Уравнение теплопроводности является наиболее простым из уравнений параболического типа (см. [1], [2], [3]). Несмотря на простоту уравнения (1), его решение также является достаточно трудоёмким, особенно в случаях, когда необходима большая точность. К тому же, опыт, полученный при работе с данным уравнением, вероятно, можно перенести и на другие параболические уравнения. Обычно в вычислительных методах для этих целях применяется метод сеток [4], [5] и разностные формулы для аппроксимации производных. В этой работе будут рассмотрены несколько разных подходов к этому методу, в том числе с использованием сплайнов [6], а также то, как распараллеливание влияет на скорость вычислений [7]. Наша задача — сократить время вычислений, применяя аппарат распараллеливания OpenMP.
В данной работе были рассмотрены полиномиальные квадратичные и тригонометрические сплайны, получены формулы для второй производной.
Была реализована два алгоритма явной схемы метода сеток в трех вариантах: последовательном и двух параллельных.
Были получены и проанализированы данные о времени работы алгоритмов, их сходимости и аппроксимации решения.
Из полученных результатов можно сделать вывод, что алгоритм с полиномиальной производной работает быстрее. Но ускорение при распараллеливании более эффективно в алгоритме с тригонометрическим сплайном.
Погрешность на сравнительно крупной сетке у полиномиального варианта меньше, но у тригонометрического алгоритма лучшая сходимость, и при измельчении сетки тригонометрический сплайн начинает лучше аппроксимировать решение. При этом, вблизи границ области сплайновая аппроксимация решения работает лучше по сравнению с полиномиальной, нежели в центре области.
