Введение 3
Постановка задачи 6
1. Основные направления исследования моделирования заболеваний 8
1.1. Обзор литературы о влиянии различных заболеваний на экономику
стран 8
1.2. Обзор исследований по математическому моделированию заболеваний и
эпидемий 21
2. Методологическая специфика моделирования заболеваний 32
2.1. Описание основных источников данных 32
2.2. Описание модель SIR 33
2.3. Описание модели CIR 36
3. Анализ математических моделей заболевания COVID-19 39
3.1. Цепочки распространения пандемии COVID-19 39
3.2. Построение прогноза с помощью SIR-модели 44
3.3. Построение прогноза с помощью модели CIR 47
Заключение 68
Список литературы 70
Приложение 78
Инфекционные заболевания являются основной причиной смерти во всем мире, и в прошлом они убили гораздо больше людей, чем все войны. Например, эпидемия «испанки» 1918-1919 годов унесла более 50 000 000 жизней во всем мире, а ежегодные сезонные эпидемии гриппа уносят до 35 000 жизней во всем мире.
Пандемии и эпидемии вызывают как краткосрочные, так и долгосрочные экономические последствия для стран по всему миру. Усилия по сдерживанию пандемии включают введение карантина, подготовку медицинских учреждений, изоляцию зараженных и отслеживание контактов с привлечением ресурсов общественного здравоохранения, человеческих ресурсов и затрат на реализацию. Сюда также входят расходы системы здравоохранения на закупку расходных материалов, таких как антибиотики, медикаменты и средства индивидуальной защиты.
Эпидемии также могут привести к сокращению налоговых поступлений и увеличению расходов, что вызывает финансовые проблемы, особенно в странах с уровнем дохода ниже среднего. Экономические потрясения часто связаны с нехваткой рабочей силы из-за болезней, роста смертности и поведения, вызванного страхом. Помимо нехватки рабочей силы, нарушения работы транспорта, закрытие рабочих мест, ограничения торговли и поездок, а также закрытые сухопутные границы являются причинами экономического спада из-за пандемии.
Изучение данных об инфекционных заболеваниях началось с работы Джона Граунта (англ. John Graunt), описанной в его книге 1662 года «Естественные и политические наблюдения над списками умерших». Эти списки представляли собой еженедельные записи о количестве и причинах смерти в лондонских приходах. Он проанализировал различные причины смерти и дал метод оценки сравнительных рисков смерти от различных болезней.
Первую математическую модель для исследования эффективности профилактических прививок против оспы создал швейцарский математик и физик Даниил Бернулли в 1760 году. Идея продолжила свое развитие в работах английского ученого Уильяма Фарра (англ. William Farr), который смоделировал показатели смертности населения Уэльса от эпидемии оспы в 1837-1839 годах. На основании данной математической модели были выявлены статистические закономерности распространения эпидемии, что позволило составить прогноз.
В начале XX века Уильям Хеймер (англ. William Hamer) и Рональд Росс (англ. Ronald Ross) применили закон действующих масс для объяснения эпидемического поведения. В 1906 г. Хеймер предположил, что распростра-нение инфекции должно зависеть от числа восприимчивых особей и числа заразных особей. Рональд Росс был удостоен второй Нобелевской премии по медицине в 1902 году за демонстрацию динамики передачи малярии между комарами и людьми. Труды Хеймера и Росса, наряду с работами Андерсона Маккендрика (англ. Anderson G. McKendrick) и Уильяма Кермака (англ. William O. Kermack), послужили теоретической основой для дальнейших исследований в области математического моделирования эпидемий.
Работа Кермака и Маккендрика, опубликованная в 1927 году, оказала большое влияние на основу моделирования. Их модель SIR до сих пор используется для моделирования эпидемий инфекционных заболеваний. На основе этой модели стало развивать исследование и прогнозирование эпидемиологических процессов.
Математическое представление и анализ инфекционных заболеваний занимают центральное место в эпидемиологии с момента ее зарождения как дисциплины. Математический анализ и модели способны объяснить ранее полученные труднообъяснимые наблюдения и играют важную роль в стратегиях общественного здравоохранения во многих странах.
Математические модели используют, чтобы связать биологический процесс передачи и возникающую динамику инфекции на уровне популяции. В простейшем случае эпидемию можно описать, перечислив, кто кого заразил и когда.
Целью данной работы является построение цепочек распространения эпидемиологических процессов, связанных с COVID-19, проведение анализа и прогнозирования протекания заболевания в странах мира.
Исходя из поставленной цели, были определены следующие задачи работы:
1. Систематизация литературные источники по теме исследования;
2. Изучение имеющиеся модели исследования инфекционных заболеваний;
3. Сбор и обработка данных об основных показателях эпидемии заболевания COVID-19;
4. Построение цепочек распространения заболевания;
5. Разработать программное обеспечение для анализа и
прогнозирования SIR-модели;
6. Разработать программное обеспечение для анализа и
прогнозирования балансовой модели.
Постановка задачи
Для достижения поставленной цели были собраны сведения об эпидемии COVID-19, собранные ресурсным центром Джона Хопкинса. Данные включают в себя количество подтвержденных случаев заболевания с момента начала эпидемии по текущий момент, количество умерших от этого заболевания, а также количество выздоровевших. Для исследования были взяты данные с 1 февраля 2020 года по 1 января 2021 года. Имеющиеся страны разбиваем на пять групп по континентам, а именно на Европу, Азию, Африку, Южную и Северную Америки. Каждая группа рассматривается отдельно.
Сначала находим процентный прирост, то есть изменение количества случаев заболевания во времени, выраженное в процентах. Для этого из текущего значения вычитаем предыдущее, эту разность делим на текущее значении и умножаем на сто процентов.
Затем по каждой стране в группе эмпирическим методом определяем день, в который процентный прирост случаев заболевания достиг примерно 20%, при этом после данного дня прирост, имеет тенденцию к снижению. Кратковременные всплески игнорируются. Назовем такой день контрольной точкой. Когда они определены, найдем страну, у которой эта точка достигается позднее, чем у остальных в группе. Такое государство является страной-последователем. Страны, имеющие контрольную точку примерно на 5-7 дней раньше будем считать странами-предшественниками. Таких государств может быть несколько. Затем уже для этих стран находим предшественников. Таким образом формируется цепочка, в которой отображена последовательность передачи заболевания на континенте.
Полученные цепочки будут использовать для моделирования количества выбывших и инфицированных в одной стране по данным стран- предшественников. Далее определяем даты, в которых процентный прирост достигает уровня в двадцать, десять, пять и два процента. Будем считать, что промежуток между датами достижения десяти и пяти процентов для базовой страны относится к промежутку между временем перехода с двадцати до десяти процентов в этой же стране, как периоды у страны-последователя.
И наконец, сравним прогнозирование пандемии COVID-19 с помощью простой SIR-модели и балансовой модели CIR. Для построения прогноза был написан код на языке программирования Python, что позволило быстро обработать большой объем данных и упростить построение множества прогнозов.
Тема математического моделирования инфекционных заболеваний достаточно популярна в научной среде. Это объясняется в том числе тем, что болезни влияют на все сферы жизни человека. Эпидемии и даже сезонные заболевания, такие как грипп, воздействуют на экономику как страны, так и всего мира в целом. Некоторые исследования показывают, что дети, рожденные во время эпидемий, чаще болеют в течении всей жизни и имеют высокий риск приобретения серьезных медицинских проблем. Кроме того, слабеет человеческий капитал, поскольку взрослые люди либо болеют сами, либо выходят на больничный, чтобы присматривать за детьми. Торговля из-за ограничений также страдает, как и другие финансовые сферы. На борьбу с болезнями государства вынуждены тратить огромные денежные ресурсы. Именно поэтому важно понимать, как будет протекать инфекционный процесс, чтобы правительство могло подбирать эффективную политику, способную минимизировать ущерб для экономики и других сфер жизни человека.
В работе, были рассмотрены различные методы математического моделирования заболеваний. Самой распространенной является модель SIR. Основным преимуществом данной модели является ее простота, поскольку требует небольшое количество данных. Однако, это преимущество может стать и ее недостатком. Именно поэтому стали появляться различные модификации, такие как модель SIER. Также часто используются модели с использованием временных рядов или же методов машинного обучения. Еще одним видом являются сетевые модели заболеваний, которые позволяют оценить в том числе влияние мер по борьбе с инфекциями.
На данном исследовании были использованы две модели, а именно SIR и CIR. Для прогноза были взяты данные 40 стран с разных континентов о количестве заболевших, умерших и выбывших со времени начала пандемии COVID-19 по начало 2021 года. Более того для обеих моделей был написан программный код. На основе проведенного исследования был сделан вывод, что для прогнозирования данного заболевания больше подходит модель CIR. Она позволяет делать прогноз для одной страны на основе данных другой страны. Также лучше использовать несколько базовых государств. Однако страны должны иметь схожие меры борьбы с болезнью, схожее отношение населения к данным ограничениям и другими факторами. Кроме того, данная модель позволяет получить хороший прогноз на более длительный срок, чем модель SIR. Именно поэтому данному способу было отдано предпочтение в моделировании пандемии COVID-19.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
