Тема: Распараллеливание методом декомпозиции области численного решения уравнения диффузии

Уравнение диффузии является частным видом дифференциального уравнения в частных производных. Решая уравнение диффузии, необходимо найти зависимость концентрации вещества (или объектов) от пространственных координат и времени. Если речь идет об общем случае, то данный коэффициент зависит от времени и пространственных координат.
В общем виде уравнение записывается следующим образом:
дф(г, Г)
——— = V • [^(^,r)V^(r,t)],
С/ С
где ф(r, t) — плотность диффундирующего вещества в точке r и во время t и О(ф, г) — обобщённый диффузионный коэффициент для плотности ф в точке r. V - оператор набла.
Если коэффициент диффузии зависит от плотности — уравнение нелинейно, в противном случае — линейно.
Если D постоянное, то уравнение диффузии сводится к уравнению теплопроводности (линейному дифференциальному уравнению).
Уравнение диффузии было открыто в 1855 году известным немецким физиком и филологом Адольфом Фиком (1829 - 1901) по аналогии с уравнением Ж. Фурье для потока тепла [1]. Я. М. Гельфер в книге «История и методология термодинамики и статистической физики» (1981) отмечает: «Явление диффузии было впервые исследовано вюрцбургским ученым А.Фиком на примере соляных растворов. Фик путем тщательных исследований показал, что свободная диффузия соляных растворов происходит по законам, совершенно аналогичным законам распространения тепла в твердых телах». Уравнение диффузии бывает стационарным и нестационарным. Первое представляет собой параболическое дифференциальное уравнение, которое описывает как распространяется растворяемое вещество вследствие диффузии.
В случае одномерного диффузионного процесса с коэффициентом диффузии /) уравнение приобретает вид:
(формула в виде рисунка)
А при постоянном /) приобретает вид:
(формула в виде рисунка)
где О - концентрация диффундирующего вещества, a 0 - функция, описывающая источники вещества
В трехмерном случае уравнение выглядит следующим образом
(формула в виде рисунка)
∆ - оператор набла, а : - скалярное произведение. Оно также может быть записано как
(формула в виде рисунка)
а при постоянном D имеет вид:
(формула в виде рисунка)
Стационарное же уравнение относится к классу эллиптических уравнений. Данное уравнение рассматривается в случаи задачи по нахождению установившегося распределения плотностью. Это означает, что можно исключить члены уравнения, которые связаны со временем в нестационарном уравнении. Общий вид стационарного уравнения таким образом:
(V, OVc(r}) = /(f)
При D, не зависящем от r , стационарное уравнение диффузии становится уравнением Пуассона -V ' • (данное уравнение неоднородное, описывает электростатическое поле, стационарное поле температуры, поле давления, поле потенциала скорости в гидродинамике) или уравнение Лапласа (однородное, т е при f=0)
д_,-. /(О
Численное решение уравнения Пуассона является важным элементом многих задач вычислительной физики. Так, например, при решении уравнений гидродинамики несжимаемой жидкости решение уравнения Пуассона требует значительных вычислительных усилий, особенно для расчетов с большим числом ячеек (от сотен тысяч и выше). [2] Метод декомпозиции является одни из методов быстрого решения данного уравнения. [3]
Купить

В ходе настоящей работы выполнена задача нахождения численного решения уравнения диффузии. Выявлено, что распараллеливание области методом декомпозиции является эффективным, что подтверждается полученными графиками решений и полученными результатами зависимости времени построения решения от количества точек. В соответствии с результатами, время, затраченное на решение уравнения Пуассона для достаточно большого количества точек (например, 263 тысячи, что является достаточно точным решением) является малым (для данного примера 2,7 секунды при параллельной форме и 3.1 секунды для прямой формы). Проведено сравнение применения метода декомпозиции с использованием быстрого метода решения системы уравнений и с использованием метода Гаусса. Второй способ менее эффективный. Для 4257 точек метод, разработанный в данной работе выполняет построение решения за 0.1 секунду при прямой форме работы программы и 0.5 при параллельной форме (разница с прямой формой такая, т к изначально происходит долгая инициализация всех данных, нужных для работы программы). Для метода декомпозиции в совокупности с методом Гаусса же время работы равняется 200 секундам.
Таким образом, применение метода декомпозиции с быстрым решением системы, отсутствием хранения неиспользуемых ячеек матриц и параллельным выполнением функций является эффективным в задачи нахождения области численного решения уравнения диффузии.
Купить