В данной работе мы разовьём технику про-групп Стейнберга и применим её к задаче о центральности К2-функтора для нечётных унитарных групп. Также мы докажем, что изотропные классические группы можно построить как нечётные унитарные группы.
Унитарные группы — это обобщение классических матричных групп, то есть полных линейных, симплектических и ортогональных групп, на произ­вольные ассоциативные кольца с единицей. Существуют различные опреде­ления унитарных групп, например, [5,13,22,23,24,31,32, 53,60,61]. Э. Бакв [6] определил унитарные группы как стабилизаторы двух классических форм на модуле, эрмитовой и квадратичной, где квадратичная форма принимает значения в факторгруппе кольца. Этот подход был обобщён В. Петровым в [2], где он определил нечётные унитарные группы с помощью квадратичных форм со значениями в произвольных абелевых группах.
Существует другое обобщение классических групп, основанное на тео­рии редуктивных групповых схем [20, 21]. Если G — это классическая ре- дуктивная групповая схема, то её скрученные формы в fppf топологии часто можно построить как унитарные групповые схемы [32], по крайней мере над полем характеристики, не равной 2.
Многие результаты младшей алгебраической K-теории были обобщены на унитарные группы [12, 14, 25, 28, 41, 52]. Для нечётных групп известно, что при естественных условиях
• элементарные подгруппы нормальны [2, 3, 51],
• выполняется стандартное описание нормальных подгрупп [10, 42, 43, 48],
• Ki-функтор стабилизируется [2, 9, 11, 59, 63],
• нестабильная группа Стейнберга центрально замкнута [33, 49, 55],
• нестабильный Ki -функтор является расширением абелевой группы при помощи нильпотентной [7, 8, 27, 64].
Старшая унитарная K-теория рассматривается в работах М. Шлихтинга, на­пример, в [44].
Также известно, что нестабильный ^-функтор централен (то есть неста­бильная группа Стейнберга является центральным расширением элементар­ной подгруппы) в случаях
• полных линейных групп над коммутативными кольцами, согласно ра­боте В. ван дер Каллена [54];
• полных линейных групп над почти коммутативными кольцами, это ре­зультат М. Туленбаева [4];
• групп Шевалле типов C, D, E, что следует из работ С. Синчука и А. Лавренова [34, 35, 46];
• изотропных ортогональных групп над полями, согласно статье С. Беге [15];
• изотропных редуктивных групп над локальными кольцами, это резуль­тат А. Ставровой [47].
Доказательства для нелокальных колец используют вычисления с относи­тельными группами Стейнберга или «другое представление» группы Стейн­берга, они также существенно используют матричную структуру группы и не обобщаются на изотропные редуктивные группы. Для полных линейных групп на самом деле известно, что группа Стейнберга является скрещенным модулем над полной линейной группой, откуда следует нормальность эле­ментарной подгруппы и центральность ^-функтора.
В главе 1 мы дадим новую конструкцию унитарных групп, основанную на алгебраических объектах, называемых нечётными форменными кольцами. Категория нечётных форменных колец оказывается алгебраически когерент­ной полуабелевой в смысле [16, 18], поэтому в этой общности легко исполь­зовать релятивизацию М. Стейна [50] в терминах внутренних скрещенных модулей [19].
Нечётное форменное кольцо (Л, Д) состоит из кольца R без единицы и с инволюцией, а также «нечётного форменного параметра» Д, который ана­логичен нечётным форменным параметрам из определения В. Петрова. Если (R, А) имеет подходящее разложение Пирса, то можно определить элемен­тарную подгруппу EU(A, А) < U(A, А) унитарной группы и группу Стейн­берга StU(A, А). Образующие элементарной этих групп параметризуются си­стемой корней типа BQ.
Глава 2 содержит конструкцию нечётных форменных алгебр по класси­ческим редуктивным групповым схемам. Основные результаты этой главы таковы:
Теорема. Пусть G — это редуктивная групповая схема над коммутатив­ным кольцом К с единицей, являющаяся скрученной формой классической групповой схемы в fppf топологии. Тогда G можно построить из классиче­ской нечётной форменной К-алгебры (R, А), используя унитарную группо­вую схему или групповую схему автоморфизмов (переходя к послойным ком­понентам связности и производным групповым подсхемам).
Теорема. Пусть G — это изотропная редуктивная групповая схема над ком­мутативным кольцом К с единицей, являющаяся скрученной формой класси­ческой групповой схемы в fppf топологии. Тогда соответствующая нечётная форменная К-алгебра (R, А) имеет каноническое разложение Пирса, зада­ющее изотропную структуру на G.
Классическими групповыми схемами мы называем произведения груп­повых схем Шевалле GL, SL, PGL, SO, PSO, Sp и PSp. Для того, чтобы при­менять строго плоский спуск к нечётным форменным алгебрам, мы исполь­зуем понятия 2-нильпотентных модулей и аугментированных нечётных фор­менных алгебр. В отличие от нечётных форменных колец, такие объекты не образуют многообразия алгебр, потому что в их определениях используются подмножества с дополнительными операциями. В нашей конструкции рас- щепимых классических нечётных форменных алгебр (Я, А) кольцо R явля­ется алгеброй Азумайи с инволюцией и А является наибольшим нечётным форменным параметром, по крайней мере при обратимой 2.
Наконец, в главе 3 мы изучаем нечётные форменные про-кольца и их про­группы Стейнберга. Мы используем такие объекты для доказательства цен­тральности ^-функтора с помощью следующего приёма локализации. Пусть К — это коммутативное кольцо с единицей, (Я, А) — это нечётная формен­ная К-алгебра, и р G Spec (К-) — простой идеал. Тогда унитарная группа U(BP, Ар) имеет достаточно хорошее представление через элементарные об­разующие, поэтому можно пробовать построить её действие на группе Стейн­берга. Но из-за наличия знаменателей на самом деле действие приходится строить на про-группах Стейнберга StU( /? х 'р , А х 'р L где «колокализации» (/? х'р . а(то’Р)) получаются из (Я, А) двойственной конструкцией к локали­зации. Наконец, мы покажем, что эти про-группы склеиваются в исходную группу Стейнберга StU(B, А). Основной результат имеет вид
Теорема. Пусть (R, А) — это нечётная форменная К-алгебра с разложе­нием Пирса. Предположим, что разложение Пирса достаточно изотропно и (R, А) локально конечна над К. Тогда группа Стейнберга StU(B, А) имеет единственную структуру скрещенного модуля над U(R, А).
Совмещая это с результатами главы 2, получается, что все классические односвязные достаточно изотропные редуктивные схемы имеют централь­ные ^-функторы. Также этот результат легко применить к изотропным уни­тарным группам В. Петрова, таким как вырожденные ортогональные груп­пы. Наш результат не применим к редуктивным группам изотропного ранга меньше 3, но уже для групп Шевалле ранга 2 есть контрпримеры [62].
Для построения требуемого действия унитарных групп на про-группах Стейнберга нам потребуется технический результат об «исключении» кор­ней, то есть представлении меньшим набором образующих.
Теорема. Пусть (R, А) — это нечётное форменное про-кольцо с разложени­ем Пирса, параметризованным системой корней Ф типа BQ. Предположим, что разложение Пирса достаточно изотропно. Тогда для любого корня а про-группа Стейнберга StU(B, А; Ф канонически изоморфна StU(B, А; Ф/q), где Ф/а — это система относительных корней (то есть a-серий в Ф/
Метод про-групп Стейнберга имеет приложения к исключительным груп­пам Шевалле [37] и другим задачам классической алгебраической K-теории [36, 38, 56].
Результаты данной работы опубликованы в статьях [1, 57, 59] и препринте [58].
Купить

Основные результаты данной работы таковы.
• Категория нечётных форменных колец из раздела 1.4 является алгеб­раически когерентной полуабелевой, это позволяет работать со скре­щенными модулями, релятивизацией Стейна и нечётными форменны­ми кольцевыми объектами в декартовых категориях.
• Аугментированные нечётные форменные алгебры из раздела 2.2 допус­кают строго плоский спуск. Они дают более точное описание корневых подгрупп длинного корневого типа, но конструкции из главы 3 не зави­сят от аугментации (и её существования).
• Все унитарные группы Петрова и почти все классические редуктивные групповые схемы (с точностью до изогении) можно построить по нечётным форменным кольцам согласно разделу 1.1 и теореме 1.
• Классические достаточно изотропные редуктивные группы задают до­статочно изотропные разожения Пирса на соответствующих аугментированных нечётных форменных алгебрах по теореме 2.
• Действия в Pro (OFR) в смысле полуабелевых категорий можно описать операциями и аксиомами по предложению 5.
• Теорема об исключении корней (теорема 3) выполняется для достаточ­но изотропных про-групп Стейнберга.
• Вариант разложения Гаусса выполняется для унитарных групп инд- полулокальных нечётных форменных колец по лемме 26.
• Группа StU(A, Д) является скрещенным модулем над U(A, Д) по тео­реме 6, если (А, Д) локально конечно и имеет достаточно изотропное разложение Пирса. В частности, EU( А, Д) нормальна в U( А, Д), а груп­па Стейнберга — это её центральное расширение.
Купить