Тема: Различные задачи случайного заполнения множеств

Задача случайного заполнения отрезка впервые была рассмотрена в ра­боте Реньи [1] в следующей формулировке. На отрезке [0, х] для х > 1 раз­мещается случайным образом интервал (t,t + 1) единичной длины, тем са­мым разбивая изначальный отрезок на два отрезка меньшей длины: [0, t] и [t + 1, х]. Если какой-либо из них имеет длину меньше единицы, он исключа­ется из дальнейшего рассмотрения. Остальные, в свою очередь, продолжают заполняться по вышеописанному правилу. По окончании данного процесса подсчитывается количество размещённых на изначальном отрезке интерва­лов. Оно обозначается за £х. Для 0 6 х < 1 значение ^х принимается равным нулю. Выражение «случайным образом» в вышеописанной задаче означает что t является равномерно распределённой на [0, х — 1] случайной величиной. Более того, любое следующее случайное размещение интервала не зависит от предыдущих.
В работе Реньи [1] был показан следующий результат
Теорема 1.1. Пусть £х — описанное выше множество случайных величин. Тогда для любого n > 1 имеет место следующее соотношение
E{&} = Ах + А — 1 + о(х n), (х —— +1), (1)
где константа А определена следующим образом
1 2 j u du
А = е 0 u dt.
0
Позднее в работе Дворецкого и Роббинса [2] было дано уточнение скорости сходимости в соотношении (1), а так же изучено поведение дисперсий того же множества случайных величин
Теорема 1.2. Пусть б,х — описанное выше множество случайных величин. Тогда имеет место следующее соотношение
/ z„ х х-3
I б 2 е А х 2
E{<х} = Ах + А - 1 + О —
х
Также, существует такая положительная константа А2, что
/б4ех х“4
D{&} = А2х + А2 + О -
х
В работе [2] также был представлен результат об асимптотической нор­мальности последовательности случайных величин <Д:
Теорема 1.3. Последовательность случайных величин
<х ~ E {£x}
РоЖУ
слабо сходится к стандартной нормальной случайной величине при x ! 1.
В работе [3] был рассмотрен дискретный аналог задачи о парковке. В нём на отрезок некоторой целой длины x (будем в таком случае обозначать дли­ну за п) размещаются интервалы заранее заданной целой длины l, которая может быть отлична от единичной. Случайная величина t в данной задаче имеет равномерное распределение на множестве целых чисел {0,... ,п — 1}, а отрезки длиной меньше l исключаются из рассмотрения. При помощи про­изводящих функций в статье [3] было получено следующее асимптотическое поведение математических ожиданий E{£n}
l-1
r E fn} -2 P
lim —- = e i=1
n!+1 ln
В последнее время задачи о случайном заполнении отрезка вновь привле­кают внимание математиков. Они были недавно рассмотрены в ряде статей, в том числе [4]-[8]. В работах [4]-[5] рассматривались дискретные варианты задачи, в то время как [6]-[8] обращали внимание на непрерывные аналоги.
Аналоги описанных выше задач были так же рассмотрены в работах [9]­
[16] .
В разделе 2 описано обобщение Теорем 1.1-1.3 на случай неравномерного расположения отрезков. В разделах 3,4,5 рассмотрены дискретные аналоги задачи Реньи. В разделе 3 располагаемые интервалы имеют целую длину большую единицы, а в разделе 4 располагаемые интервалы имеют длину 1, но они не могут быть расположены на отрезках достаточно малой длины. В разделе 5 интервалы имеют случайную длину. Раздел 6 посвящён доказа­тельству технических Лемм.
Цель выпускной квалификационной работы. Основной целью дан­ной работы является обобщение полученных в работах [1, 2] результатов на случаи одного класса законов распределений случайного размещения интер­валов, включающего в себя равномерный закон, а также получение аналогов асимптотических результатов, приведенных в работе [2] для различных мо­делей дискретных законов случайного размещения интервалов, обобщающих предложенную в работе [3] модель.
Методы. В настоящей работе развиваются методы, приведенные в рабо­тах [1] - [3]. Также используется метод, основанный на вычислении произ­водящих функций. Для получения предельных распределений используется метод, основанный на получении точных асимптотик моментов.
Научная новизна. Все результаты выпускной квалификационной рабо­ты являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теорети­ческий характер. Её результаты могут быть использованы в различных об­ластях теории вероятностей и математической статистики, в которых важны оценки числа случайно размещенных интервалов малой длины на отрезках большой длины.
Результаты и положения, выносимые на защиту.
1. Обобщение результатов, полученных в работах [1, 2] на случай, когда распределение размещаемого интервала обладает свойством антисим­метричности.
2. Уточнение асимптотики математических ожиданий и дисперсий в дис­кретном аналоге задачи о парковке, рассмотренном в работе [3], а также установление асимптотической нормальности в данной задаче.
3. Вычисление точных значений математических ожиданий для описан­ной в пункте 2 задачи для расположения интервалов длины 2.
4. Вычисление точных значений математических ожиданий, дисперсий и третьих центральных моментов в задаче о дискретной парковке машин длины 1 с дополнительным условием остановки процесса заполнения в случае, если длина отрезка становится меньше заранее заданного зна­чения.
5. Установление асимптотической нормальности для описанной в пункте 4 задачи.
6. Вычисление точных значений математических ожиданий в задаче о дис­кретной парковке машин длины 1 с дополнительным условием запрета расположения интервала на самом первом месте.
7. Вычисление точных значений математических ожиданий в задаче о дис­кретной парковке машин, длина которых является случайной величи­ной, распределённой на множестве {1, 2}.
Степень достоверности. Все полученные в выпускной квалификацион­ной работе результаты являются математически достоверными фактами.
Апробация результатов. Результаты выпускной квалификационной ра­боты докладывались автором на Санкт-Петербургском Городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике по руководством акаде­мика РАН И. А. Ибрагимова (Санкт-Петербург, 22 октября 2021). Материалы работы опубликованы в статьях [17]-[22] в рецензируемых журналах, которые входят в список ВАК.
Купить

Итоги работы:
1. Обобщены результаты, полученные в работах [1, 2] на случай, когда распределение размещаемого интервала обладает свойством антисим­метричности.
2. Уточнена асимптотика математических ожиданий и дисперсий в дис­кретном аналоге задачи о парковке, рассмотренном в работе [3], а также установлена асимптотическая нормальность в данной задаче.
3. Вычислены точные значения математических ожиданий для описан­ной в пункте 2 задачи для расположения интервалов длины 2.
4. Вычислены точные значения математических ожиданий, дисперсий и третьих центральных моментов в задаче о дискретной парковке машин длины 1 с дополнительным условием остановки процесса заполнения в случае, если длина отрезка становится меньше заранее заданного зна­чения.
5. Установлена асимптотическая нормальность для описанной в пункте 4 задачи.
6. Вычислены точные значения математических ожиданий в задаче о дис­кретной парковке машин длины 1 с дополнительным условием запрета расположения интервала на самом первом месте.
7. Вычислены точные значения математических ожиданий в задаче о дис­кретной парковке машин, длина которых является случайной величи­ной, распределённой на множестве {1, 2}.
Купить