Тема: Функционалы полного типа в задаче анализа устойчивости нелинейных дифференциально-разностных систем и их приложения

Многие математические модели в естественных науках, инженерии и эконо­мике описываются с помощью дифференциальных уравнений. Обыкновен­ные дифференциальные уравнения подразумевают зависимость скорости от текущего состояния объекта и, быть может, момента времени. Одна­ко скорость некоторых процессов зависит не только от текущего, но и от некоторого предыдущего состояния.
Например, известно [2], что обыкновенное дифференциальное уравне­ние П. Ф. Ферхюльста хорошо описывает динамику популяции простейших микроорганизмов, но не подходит для моделирования численности боль­шинства млекопитающих. Этот процесс описывается уже дифференциаль­но-разностным уравнением, которое предложил Г. Хатчинсон [14], запазды­вание в нем учитывает тот факт, что особь полноценно вступает во внут­ривидовую конкуренцию при достижении репродуктивного возраста.
Для таких математических моделей исследуют устойчивость по Ля­пунову [8] положений равновесия. Для этого анализируют, как изменяется траектория движения при малых изменениях начальных данных от поло­жения равновесия. Это позволяет анализировать и прогнозировать есте­ственные процессы, проектировать надежные системы, строить стабилизи­рующие управления объектами и решать другие задачи.
Часто математическая модель задана системой дифференциальных уравнений, которые затруднительно проинтегрировать аналитически. В та­ком случае рассматривают некоторое приближение системы в окрестности положения равновесия. Доказано [8], что при выполнении определенных условий свойства устойчивости совпадают для исходной и приближенной систем, поэтому разумно исследовать свойства аппроксимирующих систем.
Наиболее изученным классом таких систем являются линейные си­стемы дифференциальных уравнений. Для них известны способы построе­ния решений и критерии устойчивости. Однако возможна ситуация, когда первое в широком смысле приближение не содержит линейных членов, в этом случае появляются однородные уравнения порядка выше 1.
Для анализа устойчивости в работе используется прямой метод Ля­пунова. Рассматриваются два способа обобщения этого метода на диф­ференциально-разностные системы: подход Н. Н. Красовского [7] и подход Б. С. Разумихина [10]. Красовский предложил рассматривать функциона­лы, зависящие от участка траектории. Этот подход позволяет получить критерий устойчивости и является более общим, но функционалы исследо­вать сложнее, чем функции. Разумихин же предложил исследовать функ­ции, но рассматривать их производные вдоль непрерывных функций, удо­влетворяющих специальному условию. Этот подход позволяет получить лишь достаточные условия, но для некоторых классов систем осуществля­ется намного проще. В работе используются оба подхода.
Задержки в моделируемых процессах имеют разную природу, поэто­му в дифференциально-разностных уравнениях используются различные запаздывания. Широко распространено постоянное запаздывание, напри­мер, оно используется в уже упомянутой модели Хатчинсона. Кроме того, запаздывание может линейно возрастать с течением времени, например, при моделировании перемешивания содержимого смесительного бака [5], движения по кольцевой дороге [17] или работы информационного серве­ра [4].
В работе исследуется устойчивость одного класса однородных диф­ференциально-разностных систем с линейно возрастающим запаздывани­ем. Работа имеет следующую структуру. После введения идут постановка задачи и обзор литературы по данной теме. Далее следует основная часть, состоящая из двух глав. Первая глава посвящена подходу Красовского. В ней построен функционал Ляпунова-Красовского для одного однородного уравнения с линейно возрастающим запаздыванием, и на его основе получе­ны достаточные условия устойчивости нулевого решения этого уравнения. Во второй главе рассматривается подход Разумихина, и на его основе полу­чены достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого реше­ния одной однородной системы с линейно возрастающим запаздыванием. Кроме того, во второй главе исследуются робастная устойчивость и систе­ма со смешанным запаздыванием. В конце работы представлены выводы и заключение.
Купить

В результате работы получены достаточные условия устойчивости и асимптотической устойчивости для некоторых классов систем однородных дифференциальных уравнений с линейно возрастающим запаздыванием.
Также построен функционал, с помощью которого можно анализировать устойчивость нулевого решения одного класса однородных дифференциальных уравнений с линейно возрастающим запаздыванием.
Купить