Тема: Исследование частот и форм собственных колебаний эллиптических пластин

Работа посвящена исследованию колебаний тонких изотропных эллиптических пластин. Для описания пластин используется линейная теория тонкостенных пластин и оболочек Кирхгофа – Лява. При решении задачи нахождения собственных частот формулируется краевая задача для уравнения Жермен – Лагранжа. Это уравнение можно решить приближенно или аналитически с использованием собственных функций для двойного лапласиана в эллиптической области (функций Матьё).
Элементы в форме эллиптических пластин широко распространены в строительстве, приборостроении и автомобилестроении: в накопителях на жестком диске, токарных инструментах, датчиках давления, как компоненты инженерных структур [1, 4], в многослойных термовязкоупругих пластинах [17]. Колеблющиеся эллиптические пластины используются в акустических и музыкальных инструментах: сабвуферы, усилители, проигрыватели. Эллиптические пластины одни из немногих, для которых можно построить аналитическое решение уравнения колебаний.
Первая статья, посвященная сравнению колебаний круглой и эллиптической пластин, была опубликована в 1880 году (Francis E. Cabot [2]). Francis E. Cabot сделал предположение о характере колебаний эллиптической пластины и о колебании диска с круглым вырезом в центре. Однако до начала прошлого века не уделялось достаточное внимание аналитическому описанию колебаний эллиптических пластин. В исследованиях XIX века использовались лишь приближенные формулы и численные методы.
Поперечные колебания неоднородных эллиптических пластин рассмотрены во многих работах. Например, в 1992 году B. Singh, S. Chakraverty [13] описали решение задачи о нахождении частот поперечных колебаний эллиптической и круглой неоднородных пластин методом Рэлея-Ритца, используя в качестве функции формы полиномиальную функцию, обращающуюся в нуль на границе эллиптической пластины и обладающую нулевой производной на этой границе. В статье [1] N. Bhardwaj, A. P. Guptaand K. K. Choong исследовали первые шесть собственных частот для пластины, имеющей форму четверти эллипса, разрезанного по главным осям, которая покоится на упругом основании Винклера. Они использовали ортогональные полиномы, которые были получены при использовании процесса Грама-Шмидта, в качестве функций формы для метода Рэлея-Ритца. В 2005 году S. Chakraverty, RaginiJindal, V. K. Agarwal [4] изучали поведение собственных частот эллиптической пластины в зависимости от неоднородности пластины с помощью метода Рэлея-Ритца, используя в качестве функций формы ортогональные полиномы, которые были получены при использовании процесса Грама-Шмидта.
Аналитическое решение для задачи о поперечных колебаниях может быть построено только для пластинок простых форм. Колебания пластин круглых, квадратных и прямоугольных форм хорошо изучены и представлены в различных литературных источниках, например, в справочнике Arthur W. Leisa [8].
Самые ранние работы по нахождению колебаний эллиптической пластинки с помощью функций Матьё были проведены YoshioShibaoka [11], N. W. McLachlan [9]. Статьи этих авторов были опубликованы в середине прошлого века. Shibaoka утверждал, что N. W. McLachlan допустил серьезную ошибку, используя при решении уравнения колебания для эллиптической пластины тот же способ, что и для круглой пластины. N. W. McLachlanпредположил, что для вычисления любой моды колебания эллиптической пластины достаточно получить одно частное решение дифференциального уравнения колебания пластины. В случае поперечных колебаний эллиптической пластины для нахождения каждой частоты необходимо рассмотреть линейную композицию всех допустимых частных решений. Работа YoshioShibaoka была использована KenzoSato [6] для нахождения частот эллиптической пластины с упруго защемленным краем.
Исследование колебаний эллиптических пластин аналитическим методом с использованием функций Матьё было проведено в 2014 году S. M. Hasheminejad, AliGhaheri [5]. Они изучили изменение собственных частот эллиптической и круглой пластин с круглым и эллиптическим вырезом в зависимости от расположения выреза и угла поворота для эллиптического выреза.
Вычисление колебаний аналитическим способом для большинства форм пластинок является затруднительным, поэтому часто используются численные методы. Такие методы описаны в книге Л. Д. Акуленко и С. В. Нестерова [14]. Самыми распространенными приближенными методами являются: метод Рэлея-Ритца [1, 3, 4, 10, 12, 13] и метод конечных элементов.
Весьма важной является идея использования форм колебаний круглой пластины в качестве в качестве функций форм для метода Рэлея-Ритца при изучении пластинок других форм. Многие авторы используют этот метод для нахождения частот колебания эллиптических пластин. Так, например, в 1993 C. Ragalingham, R. B. Bhat и G. D. Xistris в статье [10] изучили зависимость спектра собственных частот жестко закрепленной эллиптической пластины от соотношения полуосей.
Метод конечных элементов является наиболее распространенным способом решения задачи на нахождение собственных колебаний пластинок разных форм. T. LakshmiReddy, P.V. PawanKumar, AkshayPrajapati в статье [7] провели численный анализ частот эллиптической пластины с жестко закрепленной границей в зависимости от соотношения полуосей, используя программный пакет ANSYS, и сравнили с результатами других авторов использовавших метод Рэлея-Ритца [3, 12]. А.Л. Смирнов в статье [18] получил спектр частот колебания свободной эллиптической пластины и исследовал его изменения в зависимости от соотношения большой и малой полуосей. В 2018 Е. А. Долгова в своей дипломной работе [16] изучала поведение собственных частот колебаний эллиптических пластин в зависимости от эксцентриситета и от размера центрального выреза, используя программный пакет Ansys.

Купить

При сохранении общего объема эллиптической пластины увеличение ее эксцентриситета приводит к росту всех собственных частот, связанному с увеличением жесткости конструкции при ее неизменной массе. При этом наиболее быстрый рост наблюдается у некратных частот, которые в случае нулевого эксцентриситета соответствуют осесимметричным колебаниям круглой пластины (формы c волновыми числами (0,n)). Частоты, соответствующие формам (m,n) круглой пластины, кратные для m > 0 в силу поворотной симметрии, расщепляются и растут с разной скоростью при увеличении эксцентриситета, причем быстрее растут частоты форм, вытянутых вдоль малой оси. Если в качестве параметра эллиптичности использовать отношение малой и большой осей k, то зависимость нижних частот колебаний при малых значенияхk близка к линейной.
Купить