Введение 3
Постановка задачи 4
Обзор литературы 5
Глава 1. Общие сведения о подстановках 6
1.1. Понятие подстановки 6
1.2. Произведение подстановок 6
1.3. Симметрическая группа степени n 7
1.4. Циклы и циклическая группа 9
Глава 2. Автоморфизмы подстановок 15
2.1. Классы сопряженных элементов 15
2.2. Автоморфизмы группы 15
2.3. Разложение симметрической группы на классы сопряженности 20
2.4. Нахождение группы автоморфизмов симметрической группы 22
Глава 3. Применение автоморфизмов подстановок к теории графов 26
3.1. Основные понятия о графах 26
3.2. Автоморфизмы графов 27
3.3. Связь симметрической группы и автоморфизмов графов 28
Заключение 33
Список литературы 34

Купить

Понятие подстановки, которое является одним из центральных в данной работе, возникло еще в веке. Тогда выдающиеся математики Вандермонд и Лагранж, занимаясь изучением полиномиальных уравнений, рассмотрели композицию подстановок и установили, что они обладают свойствами групповых объектов[1, с. 349]. Поэтому можно считать, что именно с подстановок зародилась теория конечных групп.
При исследовании теории групп подстановок естественным образом может возникнуть вопрос о существовании таких отображений группы подстановок, или симметрической группы, на себя, при которых сохраняются соотношения между элементами группы. Как будет показано в настоящей работе, все такие отображения образуют группу относительно операции умножения и несут название автоморфизмов группы подстановок. Одним из примечательных свойств автоморфизмов является то, что они определяют внутреннюю структуру объектов, разбивая их на множества элементов со схожими особенностями и характеристиками.
Выделив основные принципы теории подстановок, применим их к теории графов. Если говорить точнее, то мы можем установить связь между свойствами группы автоморфизмов подстановок на множестве вершин некоторого графа и автоморфизмами этого графа.
Постановка задачи
Наша задача заключается в исследовании различных групп подстановок и нахождении их групп автоморфизмов. Целью работы является распространение полученных результатов для теории подстановок на автоморфизмы графов.
В первой главе мы введем основные понятия и утверждения, связанные с подстановками. Особое внимание уделим разложению подстановок в произведение циклов.
Во второй главе определим разделение группы на классы сопряженных элементов и перейдем к поиску автоморфизмов симметрической группы.
Третья глава является результатом исследований свойств автоморфизмов подстановок и их применений к теории автоморфизмов графов.
Обзор литературы
Всю литературу, используемую при написании данной работы, можно разделить на четыре части. В первой из них содержатся литературные источники, раскрывающие такие понятия как подстановка, умножение подстановок, симметрическая группа, циклы. Это книги Постникова М. М., Головиной Л. И. и работа под редакцией Александрова А. Д., Колмогорова А. Н., Лаврентьева М. А. К ним можно добавить книги Гроссмана И. и Магнуса В. «Группы и их графы», Винберга Э. Б. «Курс алгебры», в которых рассматриваются понятия группы и циклической группы.
Вторая часть включает литературу по автоморфизмам групп. Авторами литературных источников являются Ван дер Варден, Курош А. Г., Каргаполов М. И. и Мерзляков Ю. И.
При подсчете количества всех автоморфизмов симметрической группы использовалась литература по теории вероятностей: «Введение в прикладную комбинаторику» Кофмана А., «Теория вероятностей и математическая статистика» Буре В. М. и Парилиной Е. М.
Последняя часть литературы связана с основными понятиями теории графов. К ней относятся книги «Теория графов» Харари Ф., «Перечисление графов» Харари Ф. и Палмера Э., «Лекции по теории графов» Емеличева В. А., Мельникова О. И., Сарванова В. И. и Тышкевича Р. И.

Купить