Введение 3
Теоретические основы изучения линейных уравнений. 4
1.1 Основные понятия и теоремы систем линейных уравнений 4
1.1.1 Критерий совместности общей системы линейных уравнений 5
1.1.2 Однородная система m линейных уравнений с n неизвестными 7
1.1.3 Структура общих решений однородной и неоднородной системы уравнений 8
1.2 Основные методы решения систем линейных уравнений 9
1.2.1 Матричный метод решения систем линейных уравнений 9
1.2.2 Метод крамера 10
1.2.3 Метод гаусса 13
1.3 Обобщение 16
1.4 Ответы на теоретические вопросы 19
Практическая часть 20
2.1 Решение системы линейных уравнений методом крамера 20
2.2 Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы 21
2.3 Решение системы линейных уравнение методом гаусса 24
Заключение 27
Список используемых источников 29
Одной из важнейших и распространенных задач вычислительной математики является задача решения систем линейных уравнений. К ним часто обращаются при изучении различных проблем науки и техники, в частности решение обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных сводится к решению линейных систем. Количество неизвестных n может достигать нескольких десятков, сотен и даже тысяч.
Таким образом, школьная "Алгебра и геометрия" занимает особенное место в системе математической дисциплины, которая изучается обучающимися достаточно объемно. Из-за нехватки количества часов, и объемного материала, старшеклассникам приходится достаточно упорно работать.
Объектом данной курсовой работы являются методы решения линейных уравнений.
Предметом же становится процесс обучения разным методам решения линейных уравнений.
Целью курсовой работы служит: исследовать основные методы решения линейных уравнений, изучаемых в средней школе.
Данная работа содержит раскрытие вопроса решения систем линейных алгебраических уравнений, способы получения результата и применение систем для решения экономических задач.
Работа состоит из двух частей - теоретической и практической. В теоретической части приведены определения таких понятий, как система линейных уравнений, общее и частное решения, совместность и несовместность систем, однородные и неоднородные системы, рассмотрены различные методы решения систем уравнений. Также даны ответы на теоретические вопросы.
В практической части решены системы линейных уравнений, а также рассмотрены экономические задачи, решение которых сводится к решению соответствующей системы.
Линейные системы имеют в вычислениях очень большое значение, так как к ним может быть приведено приближенное решение широкого круга задач. Теория этих систем сравнительно проста и доведена во многих частях до совершенства. Что же касается практики решения систем, то наши возможности еще сильно отстают от потребностей. Здесь многое зависит от порядка системы, т. е. от числа уравнений и неизвестных в ней. С увеличением порядка число операций, нужных для решения системы, быстро растет.
Число операций, требующихся для решения, зависит не только от порядка системы, но также от выбора метода вычислений. Поясним это примером. Предположим, что дана система п уравнений с п неизвестными и с оп¬ределителем, отличным от нуля. По теореме Крамера система имеет единственное решение. В этой теореме указывается явное выражение для значений неизвестных в виде отношения двух определителей порядка я, при этом число различных определителей в отношениях.
Для того чтобы иметь возможность решать системы из большого количества уравнений, необходимо изменить способ расчета и сделать его менее трудоемким. Такая задача привлекла внимание очень большого числа людей, и было указано множество методов решения линейных систем, преследующих не только основную цель сокращения числа операций, но и другие цели. Эти методы строились как для систем общего вида с любыми коэффициентами, так и для систем специального вида, например, полученных численным решением уравнений. Такими методами являются описанный выше простой итерационный метод, который позволяет получить приближенное решение уравнения, затрачивая меньше численных операций, чем при использовании точных методов.
Данная работа раскрыла вопрос решения систем уравнений, а также определила, как на практике использовать знания из курса "Алгебра и геометрия" для решения задач различного типа. В теоретической части были полностью раскрыты значения тех понятий, которые приводились во вступлении, а именно система линейных уравнений, общее и частное решения, совместность и несовместность систем, однородные и неоднородные системы, рассмотрены различные методы решения систем уравнений. Также даны ответы на теоретические вопросы. В практической части были решены все поставленные задачи, а именно: решены предложенные системы, выполнена проверка, решены экономические задачи, сводящиеся к системам уравнений.
