Аннотация 2
Введение 5
1 Формулировка математической модели 9
1.1 Обзор литературы 9
1.2 Формулировка математической модели в общем виде на примере планарного световода 11
1.3 Математическая модель прямой задачи Штурма-Лиувилля 14
1.4 Математическая модель обратной задачи Штурма-Лиувилля 20
2 Реализация алгоритма решения обратной задачи Штурма-Лиувилля 24
2.1 Методы исследования 24
2.2 Аппроксимация исходной функции 25
2.3 Реализация прямой задачи Штурма-Лиувилля на интервале 27
2.4 Реализация обратной задачи Штурма-Лиувилля на интервале 35
2.5 Численные эксперименты с готовым кодом 40
Заключение 49
Список используемой литературы 51
Приложение А Планарные волноводы 54
Приложение Б Код программы 59
Купить

Цель выпускной квалификационной работы (ВКР) реализовать градиентный метод решения обратной задачи Штурма-Лиувилля на интервале и провести исследование с готовой программой. Для достижения цели ВКР необходимо выполнить следующие задачи:
• выбрать инструменты и технологии для программной реализации цели бакалаврской работы;
• реализовать решение прямой задачи Штурма-Лиувилля методом стрельбы для получения спектральных данных;
• реализовать градиентный метод решения обратной задачи Штурма-Лиувилля на интервале;
• провести тестирование программного продукта, решающего прямую и обратную задачу прямой Штурма-Лиувилля;
• провести численные эксперименты с готовой программой.
Объектом исследования выпускной квалификационной работы является обратная задача Штурма-Лиувилля.
Предметом исследования выпускной квалификационной работы является градиентный метод решение обратной задачи Штурма-Лиувилля на интервале.
Для понимания сути ВКР определим используемые понятия: обратные и некорректные задачи, градиентные методы, планарные волноводы, уравнение Шредингера.
Конкретного определения обратной задачи нету, это зависти от решаемой задачи. Прежде чем дать определение обратной задачи, нужно дать определение прямой задачи. Прямая задача - это нахождение следствий, обратная задача противоположна прямой задаче - это нахождение причин. В обратной задаче известны параметры, которые получились после решение прямой задачи. Решение обратной задачи — это нахождение того, что в прямой задаче известно и входит в условие прямой задачи. Чаще всего это нахождение параметров модели при известных данных, которые получились в ходе эксперимента или наблюдений. Обратные задачи можно классифицировать: по искомой функции, по дополнительной информации, по уравнениям.
Задача называется корректной или корректно поставленной по Адамару если выполняются следующие условия: существования, единственности, устойчивости решения. Если хотя бы одно из трех условий не выполняется, то задача называется некорректной или некорректно поставленной [7]. Соответственно некорректной задачей называется задача, которая либо не имеет решения, либо имеет много решений, минимум два решения, либо решение неустойчиво, то есть при маленьком изменении входных параметров решение может сильно отличаться от точного решения.
Рассмотрим градиентные методы решения обратных и некорректных задач. Дано уравнение обратной задачи (1), записанной в операторном виде:
Aq = f, (1)
где A: Q -> F - оператор уравнения, дифференцируемый по Фреше;
Q и F - гильбертовы пространства.
В градиентном методе последовательно минимизируется функционал J(q) = 1 ||Aq — f||2 ^ min. Для решения обратной задачи Штурма-Лиувилля в качестве функционала берется невязка, описывающая разницу между спектральными данными. Градиентный метод строит последовательность q0,qi, ...,qn в которой следующее значение - это приближение искомого значения [14]. Последовательность строится по формуле qn+1 = qn — а • J'qn, где а - параметр, определяющий скорость градиентного спуска, J'qn - градиент невязки. Элемент J'qn указывает направление наискорейшего убывания функционала. Таким образом с помощью градиента невязки последовательно минимизируется невязка. Последний элемент qn - приближение искомого значения с заданной точность. Для сходимости градиентного метода необходимо ограничить функцию q.
Обратная задача Штурма-Лиувилля является задачей спектрального анализа, обратная классическим задачам о собственных значениях дифференциальных операторов. В классических задачах известен дифференциальный оператор и требуется найти спектральные характеристики(спектр) [20]. В спектральные характеристики могут входить: собственные числа, собственные функции и нормировочные коэффициенты. В обратной задаче Штурма-Лиувилля требуется найти дифференциальный оператор по его спектральным характеристикам. Пусть задано классическое уравнение Штурма-Лиувилля (2). Прямая задача состоит в нахождении нетривиальных решений уравнения на отрезке [a; b], с граничными условиями (3).
-y" + q(x)y = Ay, x€[0;п], (2)
{У1У'(а) + В1У(а) = 0, У1² + В² ≠ 0 (3)
{У2У'(b) + В2У(b) = 0, y2² + В² ≠ 0
где q(x) - потенциал;
У, В - произвольные вещественные числа.
В результате решения этой задачи появляется набор из собственных чисел, собственных функций и нормировочных коэффициентов. Обратная задача Штурма-Лиувилля заключается в восстановлении потенциала q(x), имея данные рассеяния.
Теория обратных задач спектрального анализа активно развивается и имеет множество приложений. Такие задачи имеют приложения в таких сферах как физика, электроника, геофизика, метеорология и в других естественных науках. В квантовой механике уравнение Штурма-Лиувилля называется стационарным уравнением Шредингера [8]. Стационарное уравнение Шредингера записывается следующим образом:
d²Ф(х)/dх² + (Е - u(x)Ф(x) = о, (4)
где x - декартовая координата частицы;
Ф - волновая функция;
u(x) - потенциальная энергия частицы;
Е - энергия частицы.
Решая уравнение (4) находят состояние частицы на различных уровнях энергии. Обратная задача состоит в отыскании потенциала u(x) при известной энергии частицы и волновой функции ^ [19]. В волноводной оптике распространение света может быть описано уравнением Гельмгольца (см. приложение А), которое можно свести к уравнению Штурма-Лиувилля. Решение прямой задачи - это волновые моды, которые образуются при определенном показателе преломления волноводного слоя. Обратная задача состоит в отыскании такого показателя преломления, который приводил бы к заданному набору волновых мод.
Купить