Введение
Глава 1 Теоретические основы фрактальных объектов
1.1Свойства фрактальных Объектов
1.2Фрактальная размерность
1.3Показатель Хёрста
1.4Фрактальные временные ряды
Глава 2 Алгоритмы представления фрактальных временных рядов
2.1Методы модельного представления фрактальных временных рядов
2.2Метод смещения средней точки
2.3Метод Фурье
2.4Метод обобщённого броуновского движения
2.5Методы анализа размерности
2.6Метод Ричардсона
2.7Метод Минковского
2.8Метод нормированного размаха
Глава 3 Программная реализация и тестирование
3.1Описание структуры программы
3.2Реализация метода генерации фрактального временного ряда
3.3Реализация метода анализа фрактальной размерности
Заключение
С незапамятных времен сама идея о том, что какие-то объекты природы, или процессы, протекающие в ней, могут быть подобны изнутри, и с того времени она не покидала людей. Сама по себе мысль о том, что нечто несоизмеримо крупное может быть вложено в нечто малое, требовало от ученых изменения уже давно устоявшихся представлений в геометрии. При описании различных геометрических свойств объектов как правило обходятся простыми фигурами: линией, плоскостью, многоугольником, кругом, сферой, квадратной поверхностью и коническим сечением, или их комбинациями. Также существуют различные системы, в которых предсказание поведения не представляется возможным, так как в них имеют место быть различные хаотические скачки, во всех возможных направлениях, из-за этого данные системы никогда не упорядочиваются в какую-либо логическую последовательность. Системы имеющие такие свойства обычно именуются хаотичными. Как примером для таких систем можно выделить системы прогнозирования погоды, системы поведения различных характеристик финансовых рынков, ритм сердца или мозга, представление на кардиограмме и многие прочие.
Фрактал - это такое множество, в котором его части совпадают, т. е. имеют похожую или одинаковую структуру. Само название «фрактал» в переводе с латинского «fractus» значит деленый, сломанный, разбитый на куски, а термин же впервые был использован Б. Б. Мандельбротом ещё в 1975 году. Математически точное понятие фрактала отделяет объекты, которые имеют структуры разнообразных масштабов (от малых до крупных), таким образом отражают принцип организации. Благодаря тому, что развитие фрактальной геометрии происходит довольно интенсивно, возникновение новых определений фракталов, от строго математических, до метафорических абсолютно закономерно. Для обработки сигналов и изображений численным признаком зачастую применяется фрактальная размерность, как коэффициент нерегулярности графика. Динамические процессы так же обладают фрактальной природой. Это все указывает на важность темы исследования.
Объект исследования: фрактальные объекты.
Предмет исследования: компьютерное моделирование фрактальных
объектов с использованием метода Фурье и анализ фрактальной размерности.
Цель данной работы — разработать и протестировать программную реализацию генерации фрактального объекта.
Для реализации поставленной цели, необходимо выполнить следующие задачи:
Задачи:
1)Выявить алгоритмы генерации фрактальных объектов.
2)Разработать и протестировать программу для моделирования и анализа фрактального объекта.
В ходе выполнения бакалаврской работы были получены следующие результаты:
-При анализе литературных источников были установлены основные требуемые свойства фрактальных объектов, такие как показатель Херста, и фрактальная размерность.
-Для генерации фрактальных объектов, на основе литературы, были рассмотрены методы генерации, такие как метод средней точки, метод Фурье, и метод броуновского движения.
-На основе различных плюсов и минусов методов из этих 3 методов был выбран метод Фурье как подходящий, но относительно малоиспользуемый в данной области.
-Были рассмотрены методы анализа размерности такие как метод Ричардсона, Минековского, и метод нормированного размаха.
-Были пошагово реализованы метод генерации фрактального объекта из табличных значений для ряда методом Фурье, а также метод анализа фрактальной размерности методом R/S анализа на языке python.
-С помощью полученой программы был построен фрактальный временной ряд на основе реальных статистических данных, так же было произведено прогнозиррование ряда на дальнейший промежуток времени.
-Проведены вычислительные эксперименты, состоящие из вычисления фрактальной размерности реально существующих временных рядов с целью определения свойств фрактальности временного ряда и анализа фрактальной размерности.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
