Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию однозначной разрешимости и поведения решений второй начально-краевой задачи для одного класса нестационарных уравнений Соболевского типа
Lut= b(x, t)u(x, t) + f (x,t), (x,t) G Q, (0.1)
где Lu = div(k(x, t)Vxu) — c(x,t)u,в нецилиндрических областях, изменяющихся с возрастанием времени (т.е. проекция сечения области Qплоскоствю {t = т} на плоскости {t = 0} зависит от т).
Исследование подобных уравнений в первую очередь связано с исследованием задач гидромеханики, физики плазмы, физики атмосферы х. Начально-краевые задачи для уравнения вида (0.1) в изменяющихся со временем областях используются при постановке некоторых гидромеханики, теории тепломассопереноса и др.
Данное исследование находится на стыке сравнительно нового научного направления теории неклассических задач математической физики — уравнений Соболевского типа (уравнений, невырожденных относительно производной по времени) и теории начально-краевых задач для различного типа уравнений и систем уравнений в нецилиндрических областях.
Многообразие аспектов, в которых рассматриваются задачи Коши для линейных уравнений Соболевского типа, можно представить сославшись на работы Г.В. Демиденко, С.В. Успенского, A. Favini, A. Yagi, И.В. Мельниковой, А.И. Кожанова, В.Н. Врагова, Г.А. Свиридюка, В.Е. Федорова и многих других. В указанных работах (x,t) из цилиндрической области QT= Qoх [0,T].
Нецилиндрические области широко применяются при постановке начально-краевых задач для различного типа уравнений и систем уравнений в теории теплопроводности, разработке тепловой защиты космических аппаратов, экологии и медицина и других. Исследованию такого рода задач и разработке общих принципов их изучения посвящены работы М. Жевре, И.Г. Петровского, J.L. Lions, С.Г. Крейна, Л.И. Камынина, В.П. Михайлова, G. Da Prato, J. Ferreira, H.А. Ларькина и многих других.
Исследование уравнений Соболевского типа в изменяющихся со временем областях в настоящее время остается мало изученной темой, которая представляется актуальной.
Методы исследования. В диссертации использовались методы теории функций и функционального анализа, методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, теория пространств С.Л. Соболева.
Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты:
• предложен подход к исследованию линейных начально-краевых задач в областях с изменяющейся в зависимости от временим границей без замены переменных;
• доказаны теоремы существования и единственности для данного типа задач;
• исследовано поведение решений данного типа задач при больших значениях времени в регулярных областях;
• установлены теоремы об однозначной разрешимости и поведении решений пары сопряженных задач в случае неограниченных коэффициентов уравнения.
Все результаты являются новыми.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на международной научной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы" в г. Стерлитамаке (1998 г.), на зимней и весенней Воронежских математических школах (1999 г.), на международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" в г. Челябинске (1999 г.), на международной научной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" в г. Уфа (2000 г.), на Четвертом сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном памяти М.А.Лаврентьева в г. Новосибирске (2000 г.), на городских семинарах по уравнениям Соболевского типа (под руководством проф. Г.А. Свиридюка) и по асимптотическим методам (под руководством акад. РАН А.М. Ильина) в г. Челябинске. Кроме того, данное исследование поддержано грантами РФФИ 97-01¬00444, Минобразования 1998-2000 г.г. и стипендией Законодательного собрания Челябинской области (2000).
