Помощь студентам в учебе
Методы и алгоритмы построения негладких решений краевых задач теории позиционных дифференциальных игр и оптимального управления
|
ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА 1. ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ НЕВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ 44
1.1. Понятие С-множества 45
1.3. Пример немажорируемого С - множества 54
1.4. Биссектриса множества. Определения псевдовершины множества
и крайней точки биссектрисы 61
1.5. Примеры построения биссектрисы множества и вычисления меры
невыпуклости 68
1.6. Псевдовершина кривой как точка стационарной кривизны 73
1.7 Отделимость С-множеств 78
ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТИПА ЭЙКОНАЛА 90
2.1. Постановка задачи 92
2.2. Структура минимаксного решения задачи Дирихле для уравнения
типа эйконала 95
2.3. О продолжимости локального решения уравнения, связывающего
параметры краевой задачи 107
2.4. Условия трансверсальности ветвей решения уравнения,
связывающего параметры, в вырожденном случае 116
2.5. Теорема о предельных значениях производных локальных
диффеоморфизмах 128
2.6. Понятие псевдопроизводной 140
2.7. Формулы исчисления крайних точек сингулярного множества . 146
2.8. Необходимые условия существования псевдовершин краевого
множества в случае параметрически заданной границы 166
2.9. Необходимые условия существования псевдовершин краевого
множества в условиях разрыва кривизны его границы 201
2.10. Производные в силу диффеоморфизмов и их приложения в
теории управления и геометрической оптике 216
2.11. Примеры 240
ГЛАВА 3. ОПЕРАТОР СТАБИЛЬНОГО ПОГЛОЩЕНИЯ И
ПОРОЖДАЕМЫЕ ИМ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ПРИБЛИЖЕННОГО ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИИ ЦЕНЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИГРЫ250
3.1. Постановка задачи, основные понятия, определения и
формулировки 251
3.2. Разностные операторы 259
3.3. Свойства операторов шага. Формулировка основного результата 263
3.4. Построение миноранты и мажоранты минимаксного решения ... 269
3.5. Оценка рассогласования разностных операторов 275
ГЛАВА 4. ДЕФЕКТ СТАБИЛЬНОСТИ МНОЖЕСТВА В
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИГРЕ 286
4.1. Дифференциальная игра сближения-уклонения предписанной
продолжительности 287
4.2. Дифференциальные свойства огибающих 289
4.3. Поверхность, построенная с помощью дискриминантных
преобразований плоских кривых 307
4.4. Регуляризирующее отображение и его свойства. Объемлющий
путь 315
4.5. Оценка дефекта стабильности объемлющего пути 332
4.6. Пример вычисления дефекта стабильности объемлющего пути для
линейной дифференциальной игры 340
4.7. Моделирование решений дифференциальных игр в одном классе
невыпуклых множеств с гладкой границей 348
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 364
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 367
ГЛАВА 1. ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ НЕВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ 44
1.1. Понятие С-множества 45
1.3. Пример немажорируемого С - множества 54
1.4. Биссектриса множества. Определения псевдовершины множества
и крайней точки биссектрисы 61
1.5. Примеры построения биссектрисы множества и вычисления меры
невыпуклости 68
1.6. Псевдовершина кривой как точка стационарной кривизны 73
1.7 Отделимость С-множеств 78
ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТИПА ЭЙКОНАЛА 90
2.1. Постановка задачи 92
2.2. Структура минимаксного решения задачи Дирихле для уравнения
типа эйконала 95
2.3. О продолжимости локального решения уравнения, связывающего
параметры краевой задачи 107
2.4. Условия трансверсальности ветвей решения уравнения,
связывающего параметры, в вырожденном случае 116
2.5. Теорема о предельных значениях производных локальных
диффеоморфизмах 128
2.6. Понятие псевдопроизводной 140
2.7. Формулы исчисления крайних точек сингулярного множества . 146
2.8. Необходимые условия существования псевдовершин краевого
множества в случае параметрически заданной границы 166
2.9. Необходимые условия существования псевдовершин краевого
множества в условиях разрыва кривизны его границы 201
2.10. Производные в силу диффеоморфизмов и их приложения в
теории управления и геометрической оптике 216
2.11. Примеры 240
ГЛАВА 3. ОПЕРАТОР СТАБИЛЬНОГО ПОГЛОЩЕНИЯ И
ПОРОЖДАЕМЫЕ ИМ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ПРИБЛИЖЕННОГО ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИИ ЦЕНЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИГРЫ250
3.1. Постановка задачи, основные понятия, определения и
формулировки 251
3.2. Разностные операторы 259
3.3. Свойства операторов шага. Формулировка основного результата 263
3.4. Построение миноранты и мажоранты минимаксного решения ... 269
3.5. Оценка рассогласования разностных операторов 275
ГЛАВА 4. ДЕФЕКТ СТАБИЛЬНОСТИ МНОЖЕСТВА В
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ИГРЕ 286
4.1. Дифференциальная игра сближения-уклонения предписанной
продолжительности 287
4.2. Дифференциальные свойства огибающих 289
4.3. Поверхность, построенная с помощью дискриминантных
преобразований плоских кривых 307
4.4. Регуляризирующее отображение и его свойства. Объемлющий
путь 315
4.5. Оценка дефекта стабильности объемлющего пути 332
4.6. Пример вычисления дефекта стабильности объемлющего пути для
линейной дифференциальной игры 340
4.7. Моделирование решений дифференциальных игр в одном классе
невыпуклых множеств с гладкой границей 348
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 364
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 367
Актуальность темы исследования и степень ее разработанности. В диссертации изучаются уравнения в частных производных первого порядка (УЧ111111). Математические модели, которые формализуются в виде краевых задач для УЧ111111, встречаются в различных разделах математики, физики, механики, при решении прикладных задач экономики, экологии, биологии и многих других отраслей знания.
В работе рассматриваются главным образом краевые задачи для уравнений гамильтонова типа, решения которых допускают содержательную интерпретацию в рамках теории оптимального управления, теории позиционных дифференциальных игр, а также геометрической оптики. Объединяющая эти краевые задачи особенность - негладкость, присущая решениям задач означенного типа. 1римером может служить функция цены дифференциальной игры, как правило, не являющаяся дифференцируемой функцией на всей области рассмотрения. 1ри этом в точках гладкости она удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби-Айзекса-Беллмана (УГЯАБ) - частному представителю УЧННП. В таких случаях возникает необходимость введения понятия обобщенного решения УГЯАБ. Сложности построения обобщенных решений УЧН1И1 подталкивают исследователей к созданию и развитию методов аналитического и численного построения таких функций.
Всплеск интереса к изучению обобщенных решений УЧИН11 обозначился в середине XX-го века. В 50-70-е годы негладкие решения краевых задач для УЧИНИ исследовались в работах Н.Н. Кузнецова, С.К. Годунова, С.Л. Соболева, С.Н. Кружкова, Н.С. Бахвалова, О.А. Олейник, Е. Хопфа, Н. Лакса, В. Флеминга (см. [11, 28, 69, 73, 105, 106, 107, 135, 234, 236, 239, 240]) и многих других математиков. Им приходилось либо прибегать к обобщению классического метода характеристик, сводящего решение краевой задачи к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений, либо использовать иные подходы, опирающиеся, в частности, на методы и конструкции функционального анализа и математической физики.
Примерно в то же время, но несколько позже (начало второй половины прошлого века), стала формироваться теория дифференциальных игр. Развитие этой теории шло солидарно с развитием различных концепций обобщенных решений УЧППП. Это объясняется тем обстоятельством, что основным разрешающим элементом дифференциальной игры является однозначно определяемое в общем случае негладкое решение
соответствующего УГЯАБ либо его множество уровня. Первые постановки антагонистических игр принадлежат Р. Айзексу [1], работы которого оказали значительное влияние на развитие динамического программирования, становление которого связано с трудами Р. Беллмана [12]. Фундаментальный вклад в построение теории внесли научные школы академиков Н.Н. Красовского [64, 65, 66, 67, 68] и Л.С. Понтрягина [121, 122, 124]. Формализация позиционной дифференциальной игры, предложенной Н.Н Красовским, смыкается с концепцией дифференциальных игр, берущей начало в исследованиях В. Флеминга. Существенные результаты по теории динамических игр и смежным вопросам получены отечественными и зарубежными математиками А.В. Кряжимским, А.Б. Куржанским, Е.Ф. Мищенко, М.С. Никольским, Ю.С. Осиповым, Л.А. Петросяном, Б.Н. Пшеничным, А.И. Субботиным, Н.Н. Субботиной, В.Н. Ушаковым, А.Г. Ченцовым, Ф.Л. Черноусько, Р.Е. Калманом, Дж. Лейтманом, П.-Л. Лионсом, А. Фридманом и другими авторами (см. [36, 49, 51, 71, 72, 75, 76, 90, 98, 101, 102, 108, 117, 118, 128, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146,147, 191, 195, 196, 198, 199, 213, 214, 225, 237, 252, 255] ).
Принцип максимума, сформулированный Л.С. Понтрягиным для задачи оптимального управления, послужил основой для решения большого количества разнообразных задач, возникших в прикладных областях.
Круг исследователей, получивших весомые результаты в рамках теории оптимального управления, теории дифференциальных игр и их приложений, очень широк. Наряду с работами упомянутых выше специалистов, следует указать на работы Э.Г. Альбрехта, А.В. Арутюнова, С.М. Асеева, В.И. Благодатских, В.Г. Болтянского, А.С. Братуся, Р. Ф Габасова, Р.В. Гамкрелидзе, И.Л. Григоренко, М.И. Гусева, В.Н. Дыхты, Г.Е. Иванова, М.И. Зеликина, В.И. Зубова, Ф.М. Кирилловой, А.Ф. Клейменова, Ю.С. Ледяева,
A. В.Лотова, Н.Ю. Лукоянова, А.А. Меликяна, Б.Ш. Мордуховича, В.С.Пацко, Н.Н. Петрова, Е.С. Половинкина, Д.А. Серкова, А.С. Стрекаловского, Л.И. Родиной, А.М. Тарасьева, А.А. Толстоногова, Е.Л. Тонкова, В.Е. Третьякова,
B. И. Ухоботова, Т.Ф. Филипповой., С.В. Чистякова, А.Ф. Шорикова, Л.
Берковица, А. Брайсона, П. Варайя, М.Дж. Крэндалла, В. Лакшмикантама, Хо Ю-Ши (см. [5, 7, 9,10, 13, 19, 20, 26, 27, 30, 34, 35, 42, 43, 46, 47, 48, 56,57, 58, 87, 88, 91, 92, 62, 96, 99, 113, 114, 115, 133, 137, 138, 130, 131, 149, 154, 155,
156, 189, 190, 212, 215, 216, 12, 238, 222, 18, 237]).
Унифицированная форма игры, предложенная в уральской школе по процессам управления, вскрыла наличие глубокой взаимосвязи теории позиционных дифференциальных игр с теорией обобщенных решений УЧННП и УГЯАБ, в том числе, с теорией минимаксных решений А.И. Субботина [139, 140, 141, 142] и теорией вязкостных решений математической физики М. Дж. Крэндалла и П. Л. Лионса [225, 226]. Гладкие (классические) и кусочно-гладкие решения подходящих уравнений Гамильтона-Якоби составляли основной инструмент в исследованиях дифференциальных игр еще в работах Р. Айзекса и Р. Беллмана. Инфинитезимальные конструкции описания функции цены в теории позиционных дифференциальных игр и минимаксных решений в теории уравнений Гамильтона-Якоби опираются на концепции негладкого анализа, восходящие к работам У. Дини, Ф. Кларка, Ж. П. Обэна, Р.Т. Рокафеллара, В. Ф. Демьянова и других (см. [232, 55, 218, 132, 29, 37, 38]). Отметим также, что М.Барди, М. Фальконэ, С. Ошером и Р.
Суганидисом разрабатываются параллельно в рамках теории вязкостных решений аппроксимационные схемы решения дифференциальных игр (см. [219, 220, 221, 251]).
Численные процедуры построения на сетках обощенных решений уравнений гамильтонова типа и уравнений типа эйконала развивает 8е1Ыан I. Л. [249, 250].
Работы Л.В. Овсянникова [104], его последователей и учеников, выполненные на стыке алгебры и математического анализа, позволили создать систему фактов и алгоритмов для эффективного исследования конкретных дифференциальных уравнений, возникающих в качестве математических моделей в физике, механике, теории управления, вычислительной математике и других областях знания. А.В. Боровских применил технику группового анализа при изучении уравнения эйконала [16, 17].
Полезными с точки зрения создания конструктивных подходов к построению обобщенных решений краевых задач УЧППП, оказались методы теории особенностей дифференцируемых отображений, разработанные В.И. Арнольдом, его коллегами и последователями [8, 22, 247]. Средствами этой теории, в частности, формируются списки типичных особенностей каустик и волновых фронтов, предлагаются подходы к построению дискриминантных множеств. Эти же подходы распространяются на задачи геометрической оптики, позволяя формировать эволюцию волновых фронтов, конструировать эйконал - обобщенное в смысле С.Н. Кружкова решение соответствующего УЧППП [69, 70].
Цели и задачи. Целью диссетрационной работы является разработка методов и алгоритмов построения негладких решений дифференциальных игр, задач управления, а также задач геометрической оптики.
К основным задачам, исследуемым в диссертации, относятся следующие задачи и проблемы:
I. Краевая задача Дирихле для уравнения в частных производных первого порядка типа эйконала;
II. Краевая задача Коши для уравнения типа Гамильтона-Якоби с положительно однородным по импульсной переменной гамильтонианом;
III. Характеризация невыпуклых множеств, разработка аппарата вычисления меры (коэффициента) невыпуклости для различных классов плоских замкнутых множеств, развитие теории отделимости для невыпуклых множеств;
IV. Изучение дефекта стабильности множеств различной геометрии, привлечение этих множеств для решения дифференциальных игр и задач управления в т.н. «мягкой» (отличной от строгой классической) постановке.
Задачи I и II допускают содержательное истолкование и отвечают следующим задачам (приведено соответствие по номерам):
I. Задача построения функции оптимального результата в задаче быстродействия с вектограммой скоростей шарового вида;
II. Задача построения функции цены дифференциальной игры сближения-уклонения на фиксированном отрезке времени.
Задача III представляет как самостоятельный интерес, в частности, для геометрии, так и интерес с точки зрения приложений в теории обобщенных решений УЧШП1. Так например, характеристические свойства меры невыпуклости способствуют выявлению сингулярных множеств при построении функции оптимального результата в задаче быстродействия I.
Изучение дефекта стабильности множеств при рассмотрении проблемы IV позволяет существенно расширить класс множеств, которые допустимо использовать для построения процедур управления, обеспечивающих приведение движениями динамических систем если не точно на целевое множество, то в некоторую его окрестность.
Методология и методы исследования. В диссертационной работе используются методы теории позиционных дифференциальных игр, развиваемые в научной школе по теории управления Н.Н. Красовского. Используются конструкции теории минимаксных (обобщенных) решений уравнений в частных производных первого порядка А.И. Субботина. Результаты исследования опираются также на методы и конструкции, развитые и развиваемые в рамках теории оптимального управления, теории особенностей гладких отображений. Используются методы и конструкции выпуклого и негладкого анализа, дифференциальной геометрии, а также оригинальные конструкции.
Краткое содержание работы.
В Главе 1 изучается геометрия невыпуклых по существу множеств на основе введенного понятия меры (коэффициента) невыпуклости множества. Результаты этой главы следует рассматривать прежде всего как основу для построения исследуемых в диссертации обобщенных решений задач быстродействия и задач геометрической оптики. При этом надо отметить, что часть результатов, связанных с отделимостью невыпуклых множеств, представляет и самостоятельный интерес.
В работе рассматриваются главным образом краевые задачи для уравнений гамильтонова типа, решения которых допускают содержательную интерпретацию в рамках теории оптимального управления, теории позиционных дифференциальных игр, а также геометрической оптики. Объединяющая эти краевые задачи особенность - негладкость, присущая решениям задач означенного типа. 1римером может служить функция цены дифференциальной игры, как правило, не являющаяся дифференцируемой функцией на всей области рассмотрения. 1ри этом в точках гладкости она удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби-Айзекса-Беллмана (УГЯАБ) - частному представителю УЧННП. В таких случаях возникает необходимость введения понятия обобщенного решения УГЯАБ. Сложности построения обобщенных решений УЧН1И1 подталкивают исследователей к созданию и развитию методов аналитического и численного построения таких функций.
Всплеск интереса к изучению обобщенных решений УЧИН11 обозначился в середине XX-го века. В 50-70-е годы негладкие решения краевых задач для УЧИНИ исследовались в работах Н.Н. Кузнецова, С.К. Годунова, С.Л. Соболева, С.Н. Кружкова, Н.С. Бахвалова, О.А. Олейник, Е. Хопфа, Н. Лакса, В. Флеминга (см. [11, 28, 69, 73, 105, 106, 107, 135, 234, 236, 239, 240]) и многих других математиков. Им приходилось либо прибегать к обобщению классического метода характеристик, сводящего решение краевой задачи к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений, либо использовать иные подходы, опирающиеся, в частности, на методы и конструкции функционального анализа и математической физики.
Примерно в то же время, но несколько позже (начало второй половины прошлого века), стала формироваться теория дифференциальных игр. Развитие этой теории шло солидарно с развитием различных концепций обобщенных решений УЧППП. Это объясняется тем обстоятельством, что основным разрешающим элементом дифференциальной игры является однозначно определяемое в общем случае негладкое решение
соответствующего УГЯАБ либо его множество уровня. Первые постановки антагонистических игр принадлежат Р. Айзексу [1], работы которого оказали значительное влияние на развитие динамического программирования, становление которого связано с трудами Р. Беллмана [12]. Фундаментальный вклад в построение теории внесли научные школы академиков Н.Н. Красовского [64, 65, 66, 67, 68] и Л.С. Понтрягина [121, 122, 124]. Формализация позиционной дифференциальной игры, предложенной Н.Н Красовским, смыкается с концепцией дифференциальных игр, берущей начало в исследованиях В. Флеминга. Существенные результаты по теории динамических игр и смежным вопросам получены отечественными и зарубежными математиками А.В. Кряжимским, А.Б. Куржанским, Е.Ф. Мищенко, М.С. Никольским, Ю.С. Осиповым, Л.А. Петросяном, Б.Н. Пшеничным, А.И. Субботиным, Н.Н. Субботиной, В.Н. Ушаковым, А.Г. Ченцовым, Ф.Л. Черноусько, Р.Е. Калманом, Дж. Лейтманом, П.-Л. Лионсом, А. Фридманом и другими авторами (см. [36, 49, 51, 71, 72, 75, 76, 90, 98, 101, 102, 108, 117, 118, 128, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146,147, 191, 195, 196, 198, 199, 213, 214, 225, 237, 252, 255] ).
Принцип максимума, сформулированный Л.С. Понтрягиным для задачи оптимального управления, послужил основой для решения большого количества разнообразных задач, возникших в прикладных областях.
Круг исследователей, получивших весомые результаты в рамках теории оптимального управления, теории дифференциальных игр и их приложений, очень широк. Наряду с работами упомянутых выше специалистов, следует указать на работы Э.Г. Альбрехта, А.В. Арутюнова, С.М. Асеева, В.И. Благодатских, В.Г. Болтянского, А.С. Братуся, Р. Ф Габасова, Р.В. Гамкрелидзе, И.Л. Григоренко, М.И. Гусева, В.Н. Дыхты, Г.Е. Иванова, М.И. Зеликина, В.И. Зубова, Ф.М. Кирилловой, А.Ф. Клейменова, Ю.С. Ледяева,
A. В.Лотова, Н.Ю. Лукоянова, А.А. Меликяна, Б.Ш. Мордуховича, В.С.Пацко, Н.Н. Петрова, Е.С. Половинкина, Д.А. Серкова, А.С. Стрекаловского, Л.И. Родиной, А.М. Тарасьева, А.А. Толстоногова, Е.Л. Тонкова, В.Е. Третьякова,
B. И. Ухоботова, Т.Ф. Филипповой., С.В. Чистякова, А.Ф. Шорикова, Л.
Берковица, А. Брайсона, П. Варайя, М.Дж. Крэндалла, В. Лакшмикантама, Хо Ю-Ши (см. [5, 7, 9,10, 13, 19, 20, 26, 27, 30, 34, 35, 42, 43, 46, 47, 48, 56,57, 58, 87, 88, 91, 92, 62, 96, 99, 113, 114, 115, 133, 137, 138, 130, 131, 149, 154, 155,
156, 189, 190, 212, 215, 216, 12, 238, 222, 18, 237]).
Унифицированная форма игры, предложенная в уральской школе по процессам управления, вскрыла наличие глубокой взаимосвязи теории позиционных дифференциальных игр с теорией обобщенных решений УЧННП и УГЯАБ, в том числе, с теорией минимаксных решений А.И. Субботина [139, 140, 141, 142] и теорией вязкостных решений математической физики М. Дж. Крэндалла и П. Л. Лионса [225, 226]. Гладкие (классические) и кусочно-гладкие решения подходящих уравнений Гамильтона-Якоби составляли основной инструмент в исследованиях дифференциальных игр еще в работах Р. Айзекса и Р. Беллмана. Инфинитезимальные конструкции описания функции цены в теории позиционных дифференциальных игр и минимаксных решений в теории уравнений Гамильтона-Якоби опираются на концепции негладкого анализа, восходящие к работам У. Дини, Ф. Кларка, Ж. П. Обэна, Р.Т. Рокафеллара, В. Ф. Демьянова и других (см. [232, 55, 218, 132, 29, 37, 38]). Отметим также, что М.Барди, М. Фальконэ, С. Ошером и Р.
Суганидисом разрабатываются параллельно в рамках теории вязкостных решений аппроксимационные схемы решения дифференциальных игр (см. [219, 220, 221, 251]).
Численные процедуры построения на сетках обощенных решений уравнений гамильтонова типа и уравнений типа эйконала развивает 8е1Ыан I. Л. [249, 250].
Работы Л.В. Овсянникова [104], его последователей и учеников, выполненные на стыке алгебры и математического анализа, позволили создать систему фактов и алгоритмов для эффективного исследования конкретных дифференциальных уравнений, возникающих в качестве математических моделей в физике, механике, теории управления, вычислительной математике и других областях знания. А.В. Боровских применил технику группового анализа при изучении уравнения эйконала [16, 17].
Полезными с точки зрения создания конструктивных подходов к построению обобщенных решений краевых задач УЧППП, оказались методы теории особенностей дифференцируемых отображений, разработанные В.И. Арнольдом, его коллегами и последователями [8, 22, 247]. Средствами этой теории, в частности, формируются списки типичных особенностей каустик и волновых фронтов, предлагаются подходы к построению дискриминантных множеств. Эти же подходы распространяются на задачи геометрической оптики, позволяя формировать эволюцию волновых фронтов, конструировать эйконал - обобщенное в смысле С.Н. Кружкова решение соответствующего УЧППП [69, 70].
Цели и задачи. Целью диссетрационной работы является разработка методов и алгоритмов построения негладких решений дифференциальных игр, задач управления, а также задач геометрической оптики.
К основным задачам, исследуемым в диссертации, относятся следующие задачи и проблемы:
I. Краевая задача Дирихле для уравнения в частных производных первого порядка типа эйконала;
II. Краевая задача Коши для уравнения типа Гамильтона-Якоби с положительно однородным по импульсной переменной гамильтонианом;
III. Характеризация невыпуклых множеств, разработка аппарата вычисления меры (коэффициента) невыпуклости для различных классов плоских замкнутых множеств, развитие теории отделимости для невыпуклых множеств;
IV. Изучение дефекта стабильности множеств различной геометрии, привлечение этих множеств для решения дифференциальных игр и задач управления в т.н. «мягкой» (отличной от строгой классической) постановке.
Задачи I и II допускают содержательное истолкование и отвечают следующим задачам (приведено соответствие по номерам):
I. Задача построения функции оптимального результата в задаче быстродействия с вектограммой скоростей шарового вида;
II. Задача построения функции цены дифференциальной игры сближения-уклонения на фиксированном отрезке времени.
Задача III представляет как самостоятельный интерес, в частности, для геометрии, так и интерес с точки зрения приложений в теории обобщенных решений УЧШП1. Так например, характеристические свойства меры невыпуклости способствуют выявлению сингулярных множеств при построении функции оптимального результата в задаче быстродействия I.
Изучение дефекта стабильности множеств при рассмотрении проблемы IV позволяет существенно расширить класс множеств, которые допустимо использовать для построения процедур управления, обеспечивающих приведение движениями динамических систем если не точно на целевое множество, то в некоторую его окрестность.
Методология и методы исследования. В диссертационной работе используются методы теории позиционных дифференциальных игр, развиваемые в научной школе по теории управления Н.Н. Красовского. Используются конструкции теории минимаксных (обобщенных) решений уравнений в частных производных первого порядка А.И. Субботина. Результаты исследования опираются также на методы и конструкции, развитые и развиваемые в рамках теории оптимального управления, теории особенностей гладких отображений. Используются методы и конструкции выпуклого и негладкого анализа, дифференциальной геометрии, а также оригинальные конструкции.
Краткое содержание работы.
В Главе 1 изучается геометрия невыпуклых по существу множеств на основе введенного понятия меры (коэффициента) невыпуклости множества. Результаты этой главы следует рассматривать прежде всего как основу для построения исследуемых в диссертации обобщенных решений задач быстродействия и задач геометрической оптики. При этом надо отметить, что часть результатов, связанных с отделимостью невыпуклых множеств, представляет и самостоятельный интерес.
В диссертационной работе получены следующие основные результаты.
В первой главе осуществлена характеризация а -множеств, заключающаяся в выявлении и описание характерных признаков и особенностей таких множеств. Приведена классификация а -множеств в соответствии с веденным определением регулярного множества. Введены в рассмотрение аналоги базовых понятий из выпуклого анализа и изучены их свойства. Сформулированы и доказаны утверждения в духе таких теорем из выпуклого анализа, как теорема о существовании опорной гиперплоскости к выпуклому множеству и теоремы об отделимости выпуклых множеств в евклидовом пространстве. Полученные результаты теории отделимости невыпуклых множеств распространены на случай подграфиков и надграфиков скалярных функций, удовлетворяющих условию Липшица. Также
установлена связь особых точек границы а -множества, названных псевдовершинами, для случая высокой гладкости границы с понятиями классической дифференциальной геометрии.
Во второй главе работы развит теоретический аппарат выявления сингулярных множеств для одного класса плоских задач быстродействия с круговой индикатриссой для случая невыпуклого целевого множества, имеющего кусочно-гладкую границу. Разработан численно-аналитический конструктор для построения основных структурных элементов функции оптимального результата - псевдовершин целевого мноджества, крайних точек сингулярного множества, ветвей сингулярных кривых. Введены в рассмотрение четыре типа производных в силу диффеоморфизма. Созданы основы соответствующего дифференциального исчисления, одно из предназначений которого заключается в описании сингулярностей обобщенных решений уравнений в частных производных первого порядка. Эффективность подхода продемонстрирована на примере построения минимаксного решения краевой задачи Дирихле для уравнения типа эйконала.
В третьей главе для дифференциальной игры сближения-уклонения, рассматриваемой на отрезке времени фиксированной продолжительности, доказана сходимость к функции цены разностных схем, основу которых составляют операторы шага (по времени) максиминного типа, применяемые к регуляризациям посредством локального овыпукления аппроксимаций сужений в моменты времени функции цены. Полученная оценка сходимости разностных схем согласуется с оценками для разностных операторов, полученных в рамках вязкостного подхода к определению обобщенного решения соответствующего уравнения в частных производных первого порядка.
В четвертой главе изучены теоретические и практические аспекты проблемы привлечения для решения дифференциальных игр множеств, не обладающих ключевым свойством стабильности. С этой целью введено в рассмотрение отображение, в основе которого лежат дискриминантные преобразования плоских кривых. Выявлен регуляризующий (сглаживающий) эффект этого отображения, рассматриваемого на одном классе кусочно - гладких поверхностей в трехмерном пространстве. Найдена оценка для дефекта стабильности трехмерного множества, полученного деформацией максимального стабильного моста в дифференциальной игре «в момент» с помощью означенного отображения. Оценка для дефекта стабильности зависит квадратичным образом от коэффициента регуляризации и свидетельствует о возможности построения управляющих воздействий за игрока, решающего задачу сближения, гарантирующих приведение движений динамической системы на цель в нестрогом смысле - в некоторую окрестность целевого множества, размер которой поддается оценке через дефект стабильности множества. Теоретические результаты проиллюстрированы на примере известной нерегулярной игры. Практические аспекты исследования дополнены изложением алгоритмов построения решений дифференциальных игр в классе невыпуклых трехмерных множеств, имеющих гладкие границы сечений по времени с разрывной кривизной.
Перспективы дальнейшей разработки темы
Приведенная в диссертации характеризация невыпуклых замкнутых множеств связана с задачей выявления и построения сингулярных множеств при решении уравнений в частных производных типа эйконала, но при этом представляет самостоятельный интерес с точки зрения развития методов исследования множеств средствами негладкого анализа. Полученные здесь результаты могут обощены, усилены и распространены на исследование минимаксных решений других типов уравнений в частных производных первого порядка.
Введенные обощения производных, названные производными в силу диффеоморфизмов, перспективны в задачах по описанию и построению сингулярных множеств обобщенных решений уравнений в частных производных первого порядка и уравнений типа Гамильтона-Якоби.
В первой главе осуществлена характеризация а -множеств, заключающаяся в выявлении и описание характерных признаков и особенностей таких множеств. Приведена классификация а -множеств в соответствии с веденным определением регулярного множества. Введены в рассмотрение аналоги базовых понятий из выпуклого анализа и изучены их свойства. Сформулированы и доказаны утверждения в духе таких теорем из выпуклого анализа, как теорема о существовании опорной гиперплоскости к выпуклому множеству и теоремы об отделимости выпуклых множеств в евклидовом пространстве. Полученные результаты теории отделимости невыпуклых множеств распространены на случай подграфиков и надграфиков скалярных функций, удовлетворяющих условию Липшица. Также
установлена связь особых точек границы а -множества, названных псевдовершинами, для случая высокой гладкости границы с понятиями классической дифференциальной геометрии.
Во второй главе работы развит теоретический аппарат выявления сингулярных множеств для одного класса плоских задач быстродействия с круговой индикатриссой для случая невыпуклого целевого множества, имеющего кусочно-гладкую границу. Разработан численно-аналитический конструктор для построения основных структурных элементов функции оптимального результата - псевдовершин целевого мноджества, крайних точек сингулярного множества, ветвей сингулярных кривых. Введены в рассмотрение четыре типа производных в силу диффеоморфизма. Созданы основы соответствующего дифференциального исчисления, одно из предназначений которого заключается в описании сингулярностей обобщенных решений уравнений в частных производных первого порядка. Эффективность подхода продемонстрирована на примере построения минимаксного решения краевой задачи Дирихле для уравнения типа эйконала.
В третьей главе для дифференциальной игры сближения-уклонения, рассматриваемой на отрезке времени фиксированной продолжительности, доказана сходимость к функции цены разностных схем, основу которых составляют операторы шага (по времени) максиминного типа, применяемые к регуляризациям посредством локального овыпукления аппроксимаций сужений в моменты времени функции цены. Полученная оценка сходимости разностных схем согласуется с оценками для разностных операторов, полученных в рамках вязкостного подхода к определению обобщенного решения соответствующего уравнения в частных производных первого порядка.
В четвертой главе изучены теоретические и практические аспекты проблемы привлечения для решения дифференциальных игр множеств, не обладающих ключевым свойством стабильности. С этой целью введено в рассмотрение отображение, в основе которого лежат дискриминантные преобразования плоских кривых. Выявлен регуляризующий (сглаживающий) эффект этого отображения, рассматриваемого на одном классе кусочно - гладких поверхностей в трехмерном пространстве. Найдена оценка для дефекта стабильности трехмерного множества, полученного деформацией максимального стабильного моста в дифференциальной игре «в момент» с помощью означенного отображения. Оценка для дефекта стабильности зависит квадратичным образом от коэффициента регуляризации и свидетельствует о возможности построения управляющих воздействий за игрока, решающего задачу сближения, гарантирующих приведение движений динамической системы на цель в нестрогом смысле - в некоторую окрестность целевого множества, размер которой поддается оценке через дефект стабильности множества. Теоретические результаты проиллюстрированы на примере известной нерегулярной игры. Практические аспекты исследования дополнены изложением алгоритмов построения решений дифференциальных игр в классе невыпуклых трехмерных множеств, имеющих гладкие границы сечений по времени с разрывной кривизной.
Перспективы дальнейшей разработки темы
Приведенная в диссертации характеризация невыпуклых замкнутых множеств связана с задачей выявления и построения сингулярных множеств при решении уравнений в частных производных типа эйконала, но при этом представляет самостоятельный интерес с точки зрения развития методов исследования множеств средствами негладкого анализа. Полученные здесь результаты могут обощены, усилены и распространены на исследование минимаксных решений других типов уравнений в частных производных первого порядка.
Введенные обощения производных, названные производными в силу диффеоморфизмов, перспективны в задачах по описанию и построению сингулярных множеств обобщенных решений уравнений в частных производных первого порядка и уравнений типа Гамильтона-Якоби.