Актуальность темы исследования и степень ее разработанности. Задачи оптимального управления и дифференциальные игры тесно связаны с краевыми задачами Коши и Дирихле для уравнений в частных производных первого порядка (УЧППП) и особенно - с краевыми задачами для уравнений типа Гамильтона-Якоби (УГЯ). При этом математические модели, которые формализуются в виде краевых задач для УЧППП и УГЯ, встречаются в различных разделах математики, физики, механики, акустики, при решении прикладных задач экономики, экологии, биологии и многих других отраслей знания. Объединяющая эти задачи особенность - негладкость, присущая их решениям, которые понимаются здесь в обобщенном смысле. Наличие у функций свойства недифференцируемости существенно затрудняет их построение как в аналитическом виде, так и в аппроксимационной форме. Многообразие сфер приложения УЧППП и УГЯ и сложности формирования обобщенных решений этих уравнений мотивируют исследователей на создание и развитие методов и разработку алгоритмов конструирования таких функций.
Всплеск интереса к изучению негладких решений УЧППП обозначился в середине ХХ-го века. В 50-70-е годы недифференцируемые решения краевых задач для УЧППП исследовались в работах как отечественных, так и зарубежных математиков. Они прибегали к обобщению классического метода характеристик, сводящего решение краевой задачи к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений, либо использовали иные подходы, опирающиеся, в частности, на методы и конструкции функционального анализа и математической физики.
В начале второй половины прошлого века стала формироваться теория дифференциальных игр. Одна из первых постановок антагонистических игр принадлежат Р. Айзексу , работы которого оказали значительное влияние на развитие динамического программирования, становление которого связано с трудами Р. Беллмана . Фундаментальный вклад в построение теории математического управления (как в игровой постановке, так и в рамках концепции оптимального управления) внесли научные школы академиков Н.Н. Красовского3,4,5,6 и Л.С. Понтрягина7,8.
Унифицикация, введенная в дифференциальные игры Н.Н. Красовским9,10, вскрыла наличие глубокой взаимосвязи теории позиционных дифференциальных игр с теорией обобщенных решений УЧППП и УГЯ, в том числе, с теорией минимаксных решений
А.И. Субботина и теорией вязкостных решений математической физики М.Дж. Крэндалла и П.Л. Лионса . Современная теория минимаксных и/или вязкостных решений УГЯ базируется на ключевом свойстве слабой инвариантности (стабильности) графиков таких решений относительно обобщенных характеристик - решений дифференциальных включений, определяемых гамильтонианом уравнения . Гладкие (классические) и кусочно-гладкие решения подходящих УГЯ составляли основной инструмент в исследованиях дифференциальных игр еще в работах Р. Айзекса и Р. Беллмана.
Тематика краевых задач Коши и Дирихле для УЧППП и, в том числе, УГЯ находится в тесной взаимосвязи с проблемами и задачами, относящимися к конструированию и оценке множеств достижимости и трубок траекторий управляемых систем. К настоящему времени в работах А.Б. Куржанского14,15, Ф.Л. Черноусько и их сотрудников17,18,19,20 предложен ряд методов приближенного вычисления множеств достижимости и трубок траекторий для некоторых классов управляемых систем. На базе этих методов разработаны вычислительные алгоритмы.
