Введение 5
Глава 1. Решение уравнений с монотонным оператором 17
1.1. Основные определения и постановка задачи 18
1.2. Метод Ньютона 22
1.3. Нелинейные аналоги альфа-процессов 29
1.4. Оценка погрешности двухэтапного метода 35
1.5. Численные эксперименты 37
Глава 2. Решение уравнений с немонотонным оператором ... 42
2.1. Метод Ньютона 43
2.2. Нелинейные аналоги альфа-процессов 45
2.3. Модифицированные варианты регуляризованных методов на основе нелинейных аналогов альфа-процессов 50
2.4. Решение модельных задач гравиметрии и магнитометрии .... 57
Глава 3. Покомпонентные методы и вычислительная оптимизация для решения обратных структурных задач гравиметрии и магнитометрии 66
3.1. Покомпонентный метод типа Ньютона и вычислительная оптимизация метода Ньютона 67
3.2. Покомпонентный метод типа Левенберга - Марквардта для решения обратной задачи гравиметрии для модели многослойной среды 71
3.3. Использование параллельных вычислений 76
3.4. Решение модельных задач гравиметрии и магнитометрии на многопроцессорных системах 80
3.5. Описание комплекса параллельных программ
Список литературы 104
Публикации автора 119
Актуальность темы исследования.
Теория некорректно поставленных задач и методы их решения относятся
к важнейшим направлениям исследования современной вычислительной математики, что обусловлено потребностями различных областей естествознания,
техники и медицины, где эти проблемы возникают в форме обратных задач.
Решение практических задач требует обработки больших объемов данных.
Для уменьшения времени счета используются параллельные алгоритмы и многопроцессорные вычислители.
Степень разработанности темы исследования. Ж. Адамар в 1902 г. [7]
впервые определил условия корректности задачи математической физики. Задачи, не отвечающие этим условиям, то есть некорректные, Ж. Адамар считал
лишенными физического смысла. В течение многих лет обратные задачи решались методами без строгого математического обоснования.
Первой работой по теории некорректных задач является работа академика
А.Н. Тихонова 1943 г. [110], в которой он доказал устойчивость некоторых обратных задач при условии принадлежности решения компактному множеству.
Также в этой работе он решил одну из актуальных обратных задач разведочной
геофизики. В дальнейшем теория некорректных задач оформилась в самостоятельный раздел современной математики. В конце 50-х годов и начале 60-х годов появились работы, посвященные решению некоторых некорректных задач
с помощью идей регуляризации, выдающихся отечественных ученых: А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова. Их исследования в этой области послужили созданию трех научных школ: московской, сибирской и уральской.
Началось исследование устойчивых методов решения некорректно поставленных задач, представляющих собой актуальную проблему.
5В большом цикле работ, выполненных начиная с 1963 г., А.Н. Тихонов
сформулировал принцип устойчивого решения некорректно поставленных задач, ввел понятие регуляризирующего оператора и предложил ряд эффективных методов построения таких операторов, легко реализуемых на ЭВМ [111—
114]. Метод регуляризации А.Н. Тихонова был применен для решения большого количества фундаментальных математических и актуальных прикладных
задач. Тихоновским методом регуляризации были решены операторные уравнения первого рода, обратные задачи теории потенциала и теплопроводности.
М.М. Лаврентьеву принадлежит идея замены исходного уравнения близким ему в некотором смысле уравнением, для которого задача нахождения решения устойчива к малым изменениям правой части и разрешима для любой
правой части [76]. Он доказал теоремы сходимости регуляризованного решения
к точному [74]. Основополагающие результаты для интегральных уравнений
Фредгольма первого рода получены в работах [75; 77—79], где для решения
линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода построены регуляризирующие операторы по М.М. Лаврентьеву.
