Тема: НЕЛИНЕЙНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ЗОНАХ ПОРЯДКА И ХАОСА: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, АНАЛИЗ И УПРАВЛЕНИЕ

Актуальность темы и степень ее разработанности. В настоящее время для изучения динамических процессов, наблюдаемых в разных областях есте­ствознания, широко используются математические модели в форме нелинейных дифференциальных или разностных уравнений. Переход от обработки эмпири­ческих и экспериментальных данных к построению и анализу адекватных ма­тематических моделей позволяет существенно продвинуться в понимании меха­низмов сложных процессов в механике жидкостей и газов, климатических из­менений, динамике нейронных и популяционных систем, химической кинетике и т.п., и перейти к решению актуальных задач управления такими процессами.
Присутствие случайных возмущений является неизбежным атрибутом функ­ционирования любой реальной системы. Взаимосвязь нелинейности и стохастич- ности зачастую приводит к новым явлениям, не имеющим аналогов в исходных детерминированных моделях. В настоящее время насущной задачей математи­ческого моделирования является разработка новых подходов и универсальных математических методов, ориентированных на конструктивный анализ таких явлений в нелинейных стохастических моделях современного естествознания.
Если в детерминированном случае такой универсальный математический под­ход, использующий бифуркационный анализ и теорию устойчивости, в насто­ящее время достаточно хорошо разработан, то теория и методы нелинейного стохастического анализа еще только формируются.
Первые математические модели, использующие стохастические дифференци­альные уравнения, появились в работах С.Н.Бернштейна, И.И.Гихмана, К.Ито, Р.Л. Стратоновича. Развитие стохастического анализа привело к появлению новых моделей с интегралами по мартингалам, точечным и Леви процессам [1, 2, 3].
Современная теория устойчивости и управления стохастическими динами­ческими системами формировалась в работах таких ученых как Н.Н. Красов­ский, Р.З. Хасьминский, И.Я. Кац, H.J. Kushner, W.H. Fleming, В.Б. Колма­новский, А.Б. Куржанский, Г.Н. Мильштейн, П.В. Пакшин, Ф.Л. Черноусько, Б.И. Ананьев, M. Aoki, L. Arnold, K.J. Astrom, R.S. Bucy, X. Mao, J.L. Willems, W.M. Wonham и многих других.
Воздействия случайных возмущений на автоколебательные режимы, возни­кающие в нелинейных моделях, исследовались в работах Л.С. Понтрягина, А.А. Андронова, А.А. Витта, Р.Л. Стратоновича, С.М. Рытова, Ю.И. Неймарка, П.С. Ланда, В.В. Болотина, М.Ф. Диментберга, В.С. Анищенко, Т.Е. Вадивасовой, А.А. Короновского, А.Е. Храмова, В.И. Некоркина, Г.В. Осипова, С.П. Кузне­цова, А.Б. Неймана, А. Пиковского, А.А. Дубкова, R.A. Ibrahim, W. Horsthemke, R. Lefever, J. Duan, A. Pisarchik, J. Kurths, B. Spagnolo, S. Boccaletti и других.
В настоящее время интенсивно исследуются такие нелинейные стохастиче­ские явления, как вызванные шумом переходы, стохастические бифуркации, стохастический и когерентный резонанс, вызванный шумом порядок и хаос, вы­званная шумом синхронизация, возбудимость, перемежаемость, мультимодаль­ность, вызванные шумом кризисы.
Подобные явления, свидетельствующие о конструктивном характере шумов, обнаружены во многих нелинейных стохастических системах, моделирующих реальные процессы, относящиеся к различным областям естествознания. В част­ности, такие стохастические явления наблюдаются и в обсуждаемых в диссерта­ции направлениях, связанных с механикой потоков, с химической кинетикой, с популяционной динамикой, с нейронной активностью, с климатической и вулка­нической динамикой. Основным инструментом исследования таких нелинейных стохастических явлений пока остается прямое численное моделирование [4, 5]. В рамках этого чрезвычайно затратного метода сложно получить ясные па­раметрические описания разнообразных стохастических режимов исследуемых моделей. Для проведения детального параметрического анализа, позволяющего выяснить вероятностные механизмы этих новых стохастических явлений, тре­буется разработка аналитических подходов.
Сравнительный анализ представленного в литературе широкого круга нели­нейных стохастических эффектов позволяет выделить главные причины, их вы­зывающие. В исследовании индуцированных шумами переходов определяющую роль играет взаимное расположение разброса случайных состояний вокруг ат­тракторов и сепаратрис, разделяющих их бассейны притяжения. Исчерпываю­щее вероятностное описание динамики вероятностных распределений в моделях, использующих стохастические дифференциальные уравнения, дается соответ­ствующим уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова. Аналитическое решение этого уравнения возможно только в одномерном случае. В случае систем с малы­ми шумами здесь возникают известные сложности анализа уравнений с малы­ми коэффициентами при старших производных. В этих обстоятельствах важны подходы, дающие конструктивные аппроксимации для искомых статистических характеристик. В частности, разработан метод, связанный с обрывом бесконеч­ной последовательности уравнений для моментов высших порядков [6], методы стохастического усреднения [7, 8], аппроксимации в переменных амплитуды и фазы [9], метод квазипотенциала [10]. В случае равновесия и цикла квадратич­ная аппроксимация квазипотенциала была построена в [11]. Параметры соответ­ствующей квадратичной формы задаются матрицей, получившей в дальнейшем название матрицы стохастической чувствительности. Метод функций стохасти­ческой чувствительности, использующий другой подход, связанный с системами первого приближения, развивался в цикле совместных работ [12, 13, 14, 15] ав­тора диссертации.
Во многих реальных процессах адекватной математической моделью дей­ствующих случайных возмущений являются цветные шумы, имеющие те или иные характерные корреляционные временные характеристики [16]. Важная роль цветных шумов была обнаружена во многих системах самой разной приро­ды, например, в лазерах, сейсмологии, биохимии, динамике популяций, кинети­ке роста микроорганизмов, динамике роста опухолей. Для анализа вероятност­ных механизмов этих явлений несомненно актуальным является представлен­ное в диссертации распространение теории стохастической чувствительности на случай систем с цветными шумами.
Изучение взаимного влияния стохастических и периодических возмущений на поведение нелинейных динамических систем также является темой обшир­ных исследований. Даже в детерминированном случае, динамические системы с периодически меняющимися параметрами являются широко распространенны­ми математическими моделями в естествознании и технике. Например, в ана­лизе динамики популяционных и климатических систем важную роль играют изменения внешних условий, связанные с суточными и сезонными ритмами. Та­кие системы могут демонстрировать разнообразие динамических режимов с пе­риодическими, апериодическими и даже хаотическими колебаниями. Детерми­нированные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами исследовались в работах Ю.А. Митропольского, А.М. Самойленко, Д.И. Мар­тынюка, В.А. Якубовича и многих других...
Купить

В п.5.5.2 исследован стохастический вариант модели «хищник-жертва» с Ол­ли эффектом и трофической функцией Холлинга II типа, задаваемой стоха­стическими дифференциальными уравнениями с параметрическими шумами. Теоретические результаты п.4.2.4 по управлению доверительными областями используются здесь для решения задачи предотвращения индуцированного шу­мом вымирания. Исследована достижимость и найдены коэффициенты стаби­лизирующий регуляторов для разной структуры управляющих воздействий.
В п. 5.5.3 для модели, описывающей взаимодействие фито- и зоопланктона, со случайными возмущениями размеров экологической ниши с помощью теоре­тических результатов глав 2,3 исследуются изменения численности популяции, связанные со стохастическими бифуркациями циклов-канардов, переходом к ха­осу и генерацией фантомных аттракторов.
П. 5.6 посвящен приложению методов стохастического анализа из глав 2,3 к некоторым процессам из области геофизики. В п. 5.6.1 рассматривается стоха­стический вариант трехмерной климатической модели Зальцмана, связывающей изменение концентрации углекислого газа в атмосфере с динамикой массы льда и температуры в глубине океана. В этой модели была обнаружена интересная математическая особенность, связывающая анализ климатической динамики с исследованием поведения модели в зоне седло-узловой бифуркации на инвари­антной кривой. Здесь для анализа стохастической генерации большеамплитуд­ных осцилляций конструктивно применяется метод доверительных эллипсов в сечениях Пуанкаре, отвечающих главным направлениям доверительных эллип­соидов.
В п.5.6.2 исследуются процессы вулканической активности на основе трехмер­ной нелинейной динамической модели с переменными, отвечающими за скорость вулканической пробки, давление магмы и объем канала. С помощью методов стохастического анализа, разработанных в диссертации, найдена параметриче­ская зона, где даже малые случайные возмущения коэффициентов трения в канале вулкана могут вызывать периодически повторяющиеся выбросы магмы значительных объемов.
В Главе 6 дается описание комплекса программ, реализующих разработан­ные в рамках диссертационного исследования численные процедуры и алгорит­мы, позволяющие эффективно применять оригинальные методы моделирова­ния, анализа и управления стохастическими нелинейными динамическими си­стемами. С помощью этого комплекса в диссертации решен широкий круг акту­альных исследовательских задач, возникающих в современных разделах есте­ствознания.
В Заключении подведены итоги диссертационной работы, сформулирова­ны основные результаты, представлены рекомендаци и перспективы дальнейшей разработки темы...
Купить