ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ 4
ВВЕДЕНИЕ 5
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ 7
1 Паттерны в модели Брюсселятора 7
1.1 Формирование паттернов и мультистабильность 8
1.2 Переходные процессы 10
1.3 Подавление гомогенных автоколебаний 13
1.4 Стохастические переходы между паттернами 13
1.5 Стохастическая генерация паттернов 16
2 Анализ популяционной модели 19
2.1 Детерминированный анализ 20
2.2 Анализ стохастических переходов 24
2.3 Стохастическая генерация паттернов 26
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 29
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
Механизмы самоорганизации привлекают внимание многих исследований в самых разных областях науки. Различные явления, связанные с подобными процессами часто встречаются в физике, химии, биологии, экологии и других дисциплинах [1, 2, 3, 4, 5]. Однако, очень часто изучение этих процессов и наблюдение за ними в природе осложняется многими факторами, а попытки их воссоздания могут быть крайне сложными и трудоемкими. В этих условиях, одним из главных инструментов для изучения феноменов является математическое моделирование с использованием численных методов и вычислительной техники [6, 7, 8].
Одним из многих примеров механизмов самоорганизации в природе является феномен диффузионной неустойчивости (или неустойчивости Тьюринга) [9, 10]. Многие научные труды посвящены формированию тьюринговских паттернов. Примеров таких паттернов достаточно: пигментация на шкурах животных [11], ареалы в популяционной динамике [12, 13, 14], нейронные взаимодействия [15] и многие другие. Наиболее важная задача заключается в составлении компетентных теорий по предсказанию поведения процессов самоорганизации. Другой важный вопрос для изучения - это возможность оказывать влияние на эти процессы и направлять их в нужную сторону.
Сравнительно новая тема для исследований - поведение соответствующих систем вблизи границ бифуркации различных видов. Большинство математических моделей с самоорганизацией имеют сложную структуру и динамику. Так, например, во многих моделях нелинейной динамики с диффузией можно наблюдать возникновение автоколебательных режимов (бифуркация Андронова-Хопфа) наряду с генерацией стационарных пространственно-неоднородных состояний (бифуркация Тьюринга) [16, 17, 18, 19]. Наблюдения показывают, что гомогенные осцилляции могут стать неоднородными или быть подавленными диффузией с последующим формированием стационарного паттерна [20, 21].
Наконец, чтобы приблизить численный эксперимент к естественным условиям, необходимо учитывать влияние случайных возмущений на динамику системы. Широкий спектр природных явлений связан с нелинейностью и стохастичностью. Примером могут быть индуцированные случайным шумом фазовые переходы и стохастическая самоорганизация. Природа шума случайна, но очень часто он играет ключевую роль в установлении относительного порядка в системах.
Поскольку соответствующие модели являются нелинейными и стохастическими, возникают сложности в вычислениях. К тому же, лишь узкий круг моделей можно изучать аналитическими методами. Для избежания этих проблем, модели упрощаются и аппроксимируются. Несмотря на риск потери важной информации, такой подход часто оказывается достаточным для исследования отдельно взятого явления.
В этой работе рассмотрены две распределенные модели нелинейной динамики с диффузией. Каждая из двух основных частей является независимым исследованием соответствующей модели. В первой части исследован распределенный Брюсселятор с диффузией - классическая модель, служащая отправной точкой для изучения самоорганизации в химических реакциях. Вторая часть посвящена исследованию модели динамики популяций с диффузией [22, 23]. Между этими моделями было обнаружено сходство в характере наблюдаемых явлений.
Исследование модели выполнено по схожей схеме. Первый этап - вывод параметрической зоны неустойчивости Тьюринга, в которой ожидается генерация пространственных паттернов. Границы этих зон могут быть выведены аналитически методом составления дисперсионного уравнения и нахождения его корней. Затем, для системы показаны примеры паттернов при различных наборах параметров, рассмотрены соответствующие сценарии генерации неоднородных структур. Важным результатом является мультистабильность моделей - процесс формирования и его результат сильно зависят от начального состояния системы.
Стохастический анализ рассматривает два вида феноменов, обнаруженных в этих моделях. Первый - стохастическая генерация паттернов в зоне диффузионной устойчивости. Показано, что шум малой интенсивности способствует формированию относительно устойчивых неоднородных структур в зоне, где однородное состояние является устойчивым. Второй феномен - индуцированные шумами переходы между паттернами в зоне диффузионной неустойчивости. Под воздействием шума одни структуры рассеиваются, в то время как другие оказываются более устойчивыми к возмущениям.
В процессе исследования применен метод модальных коэффициентов, который позволяет более детально рассматривать динамику системы и более точно фиксировать факт формирования структур. На базе этого метода проведен статистический анализ популяционной модели.
В ходе данной работы была рассмотрена генерация паттернов в стохастическом Брюсселяторе с диффузией и стохастической модели ’’хищник-жертва”. Показано, что в параметрической зоне тьюринговской неустойчивости имеет место мультистабильность и, как следствие, сосуществование большого числа паттернов. Часто сценарии генерации могут проходить в несколько этапов с формированием промежуточных структур. На примере де-терминированного анализа продемонстрирован метод модальных коэффициентов.
Рассмотрены сценарии индуцированной шумом генерации паттернов в зоне диффузионной устойчивости. Показано, что при воздействии шума формируются структуры подобные тьюринговским. Для выявления преобладающих в системе мод применен метод модальных мощностей. Статистический анализ генерации паттернов в модели ”хищник-жертва” показал, что моды по разному реагируют на рост интенсивности шума. Стохастические переходы в зоне диффузионной неустойчивости исследованы с применением анализа модальных коэффициентов.
Результаты исследований были представлены в виде докладов на научных конференциях ”Современные Проблемы Математики” (г. Екатеринбург, 2018, 2019, 2020), ’Физика. Технологии. Инновации.” (г. Екатеринбург, 2018, 2019), ’Динамика. Бифуркации. Хаос.” (г. Нижний Новгород, 2018). Эти результаты опубликованы в ряде статей [24, 25, 26, 27, 28, 29].
В данный момент ведется работа в двух направлениях. Первое - изучение связи автоколебательных режимов и диффузионных переходов. Рассмотрены некоторые сценарии, в том числе и стохастические, подавления автоколебаний и формирования стационарных неоднородных структур. Результат был представлен на конференции ”Физика. Технологии. Инновации.” (г. Екатеринбург, 2020), планируется публикация.
Второе направление - исследование числовых характеристик стохастической чувствительности паттернов. На данный момент имеются результаты статистического анализа, представленные в виде доклада на конференции ”Современные Проблемы Математики” (г. Екатеринбург, 2020). Однако основная цель работы - поиск аналитического метода оценки чувствительности.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
