📄Работа №205583
Тема: Исследование уравнения Буссинеска - Лява на геометрическом графе
Характеристики работы
Тип работы
Дипломные работы, ВКР
Предмет
Математика
Объем:
57 листов
Год:
2016
Просмотров:
39
4570
руб.
🛒 Купить работу
Не подходит эта работа?
Закажите новую по вашим требованиям
Узнать цену на написание
Закажите новую по вашим требованиям
Представленный материал является образцом учебного исследования, примером структуры и содержания учебного исследования по заявленной теме. Размещён исключительно в информационных и ознакомительных целях.
Workspay.ru оказывает информационные услуги по сбору, обработке и структурированию материалов в соответствии с требованиями заказчика.
Размещение материала не означает публикацию произведения впервые и не предполагает передачу исключительных авторских прав третьим лицам.
Материал не предназначен для дословной сдачи в образовательные организации и требует самостоятельной переработки с соблюдением законодательства Российской Федерации об авторском праве и принципов академической добросовестности.
Авторские права на исходные материалы принадлежат их законным правообладателям. В случае возникновения вопросов, связанных с размещённым материалом, просим направить обращение через форму обратной связи.
Настоящий учебно-методический информационный материал размещён в ознакомительных и исследовательских целях и представляет собой пример учебного исследования. Не является готовым научным трудом и требует самостоятельной переработки.
📋 Содержание
Введение 6
1. Абстрактная задача Штурма — Лиувилля на геометрическом графе 8
2. Задача Штурма — Лиувилля для некоторых геометрических графов 10
3. Метод Фурье для математической модели
Буссинеска — Лява на геометрическом графе 29
4. Обоснование метода Фурье для математической модели
Буссинеска - Лява на геометрическом графе 34
Заключение 55
Литература 56
1. Абстрактная задача Штурма — Лиувилля на геометрическом графе 8
2. Задача Штурма — Лиувилля для некоторых геометрических графов 10
3. Метод Фурье для математической модели
Буссинеска — Лява на геометрическом графе 29
4. Обоснование метода Фурье для математической модели
Буссинеска - Лява на геометрическом графе 34
Заключение 55
Литература 56
📖 Аннотация
В данной работе проводится исследование уравнения Буссинеска-Лява, описывающего нелинейные волновые процессы, на конечном связном ориентированном геометрическом графе. Рассматривается постановка задачи, включающая уравнение на каждом ребре графа и условия согласования Кирхгофа в вершинах, обеспечивающие непрерывность решения и баланс потоков. Актуальность исследования обусловлена развитием теории дифференциальных уравнений на графах, которая находит применение в моделировании распределенных систем физики, биологии и инженерии, таких как нервные импульсы, течения в сетях каналов или распространение сигналов в оптических волокнах. Основными результатами являются анализ спектральных свойств вспомогательной задачи Штурма-Лиувилля на графе, решение этой задачи для ряда конкретных конфигураций графов и построение с помощью метода Фурье явных решений уравнения Буссинеска-Лява для этих случаев. Также дано обоснование применимости метода Фурье при определенных условиях на начальные данные. Научная значимость заключается в развитии аналитических методов для неклассических областей, а практическая — в расширении инструментария для математического моделирования сложных сетевых структур. Теоретической основой послужили работы, посвященные дифференциальным уравнениям на графах, такие как монография Ю.В. Покорного и др. (2004), а также исследования А.А. Баязитовой по задаче Штурма-Лиувилля, С.А. Загребиной по уравнениям Соболевского типа и П.О. Пивоваровой по вопросам устойчивости решений на графах.
📖 Введение
Пусть G = G($J, (£) - конечный связный ориентированный граф, где QJ = {V^} - множество вершин, а (8 = {Ej} - множество ребер. Каждому ребру поставим в соответствие два числа lj,dj G R+, обозначающие длину и площадь поперечного сечения ребра Ej соответственно. На графе G рассмотрим задачу Штурма - Лиувилля для уравнения
азиз ~ (сз(х^з*)х = из = из(х (О-1)
х Е (Q,lj),t € R
Для уравнений (0.1) в каждой вершине графа зададим условия
djCj(O}Ujx(O,t} dmCm(J,m^Umx(Jm-,t') = 0, (0-2)
EjeE^Vi) ЕтеЕ"(Ъ)
tij(O, t) = «ДО, i) =: um(lm, V) — un(ln, t), (0-3)
где Ej, Ek 6 7V*(Vi), Em, En G ЕДК) Д G R. Здесь через Ea(-,JJVi) обозначено множество дуг с началом (концом) в вершине V.- Условие (0.2) обозначает, что поток через каждую вершину должен равняться нулю, а условие (0.3) - что решение и = (щ,и2, ...,Uj,...) в каждой вершине должно быть непрерывным. В частном случае, когда граф G состоит из одного ребра и двух вершин, условие (0.3) исчезает, а условие (0.2) превращается в условие Неймана. Дифференциальные уравнения на графах - сравнительно новая часть математического знания. Первые публикации в этой области появились в последнее десятилетие прошлого века, первая монография вышла в 2004 г. [5] и была посвящена изучению качественных свойств дифференциальных уравнений на многообразиях типа сети. В [12] на графе G рассмотрены уравнения реакции-диффузии
Hjt — ujxx + (0, {;'); t € R-H-, где f - гладкая функция, с условиями типа Кирхгоффа. Между тем было замечено, что в ряде случаев уравнения Соболевского типа описывают процессы реакции-диффузии лучше, чем полулинейные уравнения вида (0.4).
Уравнения Соболевского типа на графах впервые были рассмотрены в 2002 г. [6]; первое диссертационное исследование в этом направлении было выполнено в 2002 - 2005 гг. [И] и содержало результаты [7] — [9]. В работах [2, 3, 5-9, И] возникла задача Штурма - Лиувилля (0.1) - (0.3), правда, в частном случае (c.j)x = 1,аДя) = а = const), причем предложенный подход имел мало общего с результатами [4]. Дальнейшее исследование [10] привело к новой задаче Штурма - Лиувилля вида (0.1) - (0.3), теперь уже в случае Cj(x) = 1,аДж) = ctj. Это обстоятельство побудило рассмотреть задачу (0.1) - (0.3), которая является естественным обобщением рассмотренных ранее задач. Полученные результаты носят окончательный и исчерпывающий характер.
В работе методом Фурье исследуется задача (0.1) - (0.3) на геометрическом графе. Цель данной работы - найти решения уравнения Буссинеска - Лява для некоторых конечных, связных ориентированных графов. Работа, кроме вводной части, заключения и списка литературы содержит четыре параграфа. В первом параграфе приведены свойства собственных значений и собственных функций задачи, взятые в [1]. Второй параграф посвящен конкретным примерам решений задач Штурма - Лиувилля. В третьем параграфе, применяя метод Фурье, находятся решения задачи Буссинеска - Лява. В последнем параграфе, сделано обоснование применения метода Фурье для задачи Буссинеска - Лява для некоторых конечных связных ориентированных графов.
азиз ~ (сз(х^з*)х = из = из(х (О-1)
х Е (Q,lj),t € R
Для уравнений (0.1) в каждой вершине графа зададим условия
djCj(O}Ujx(O,t} dmCm(J,m^Umx(Jm-,t') = 0, (0-2)
EjeE^Vi) ЕтеЕ"(Ъ)
tij(O, t) = «ДО, i) =: um(lm, V) — un(ln, t), (0-3)
где Ej, Ek 6 7V*(Vi), Em, En G ЕДК) Д G R. Здесь через Ea(-,JJVi) обозначено множество дуг с началом (концом) в вершине V.- Условие (0.2) обозначает, что поток через каждую вершину должен равняться нулю, а условие (0.3) - что решение и = (щ,и2, ...,Uj,...) в каждой вершине должно быть непрерывным. В частном случае, когда граф G состоит из одного ребра и двух вершин, условие (0.3) исчезает, а условие (0.2) превращается в условие Неймана. Дифференциальные уравнения на графах - сравнительно новая часть математического знания. Первые публикации в этой области появились в последнее десятилетие прошлого века, первая монография вышла в 2004 г. [5] и была посвящена изучению качественных свойств дифференциальных уравнений на многообразиях типа сети. В [12] на графе G рассмотрены уравнения реакции-диффузии
Hjt — ujxx + (0, {;'); t € R-H-, где f - гладкая функция, с условиями типа Кирхгоффа. Между тем было замечено, что в ряде случаев уравнения Соболевского типа описывают процессы реакции-диффузии лучше, чем полулинейные уравнения вида (0.4).
Уравнения Соболевского типа на графах впервые были рассмотрены в 2002 г. [6]; первое диссертационное исследование в этом направлении было выполнено в 2002 - 2005 гг. [И] и содержало результаты [7] — [9]. В работах [2, 3, 5-9, И] возникла задача Штурма - Лиувилля (0.1) - (0.3), правда, в частном случае (c.j)x = 1,аДя) = а = const), причем предложенный подход имел мало общего с результатами [4]. Дальнейшее исследование [10] привело к новой задаче Штурма - Лиувилля вида (0.1) - (0.3), теперь уже в случае Cj(x) = 1,аДж) = ctj. Это обстоятельство побудило рассмотреть задачу (0.1) - (0.3), которая является естественным обобщением рассмотренных ранее задач. Полученные результаты носят окончательный и исчерпывающий характер.
В работе методом Фурье исследуется задача (0.1) - (0.3) на геометрическом графе. Цель данной работы - найти решения уравнения Буссинеска - Лява для некоторых конечных, связных ориентированных графов. Работа, кроме вводной части, заключения и списка литературы содержит четыре параграфа. В первом параграфе приведены свойства собственных значений и собственных функций задачи, взятые в [1]. Второй параграф посвящен конкретным примерам решений задач Штурма - Лиувилля. В третьем параграфе, применяя метод Фурье, находятся решения задачи Буссинеска - Лява. В последнем параграфе, сделано обоснование применения метода Фурье для задачи Буссинеска - Лява для некоторых конечных связных ориентированных графов.
✅ Заключение
В работе найдены решения уравнения Буссинеска - Лява на некоторых геометрических графах.
В ходе выполнения поставленной задачи в первом параграфе были рассмотрены свойства собственных функций и собственных значений вспомогательной задачи. Во втором параграфе решена вспомогательная задача Штурма - Лиувилля для некоторых графов. В третьем параграфе были найдены формулы решения уравнения Буссинеска - Лява на конкретных графах с помощью метода Фурье. В четвертом параграфе дано обоснование применимости метода Фурье для решения задачи на конкретных связных ориентированных графах, то есть даны условия на начальные функции, при которых можно применять данный метод.
Данная задача остается открытой для дальнейшего рассмотрения, так как рассмотрена лишь малая часть графов.
В ходе выполнения поставленной задачи в первом параграфе были рассмотрены свойства собственных функций и собственных значений вспомогательной задачи. Во втором параграфе решена вспомогательная задача Штурма - Лиувилля для некоторых графов. В третьем параграфе были найдены формулы решения уравнения Буссинеска - Лява на конкретных графах с помощью метода Фурье. В четвертом параграфе дано обоснование применимости метода Фурье для решения задачи на конкретных связных ориентированных графах, то есть даны условия на начальные функции, при которых можно применять данный метод.
Данная задача остается открытой для дальнейшего рассмотрения, так как рассмотрена лишь малая часть графов.
ИЛИ
Поиск аналога
📕 Список литературы
🖼 Скриншоты
🛒 Оформить заказ
⚡ Работу высылаем в течении 5 минут после оплаты.