📄Работа №133046
Тема: Разработка экономичных схем интегрирования структурно разделённых систем обыкновенных дифференциальных уравнений
Характеристики работы
Тип работы
Дипломные работы, ВКР
Предмет
Математика
Объем:
47 листов
Год:
2018
Просмотров:
187
4550
руб.
🛒 Купить работу
Не подходит эта работа?
Закажите новую по вашим требованиям
Узнать цену на написание
Закажите новую по вашим требованиям
Представленный материал является образцом учебного исследования, примером структуры и содержания учебного исследования по заявленной теме. Размещён исключительно в информационных и ознакомительных целях.
Workspay.ru оказывает информационные услуги по сбору, обработке и структурированию материалов в соответствии с требованиями заказчика.
Размещение материала не означает публикацию произведения впервые и не предполагает передачу исключительных авторских прав третьим лицам.
Материал не предназначен для дословной сдачи в образовательные организации и требует самостоятельной переработки с соблюдением законодательства Российской Федерации об авторском праве и принципов академической добросовестности.
Авторские права на исходные материалы принадлежат их законным правообладателям. В случае возникновения вопросов, связанных с размещённым материалом, просим направить обращение через форму обратной связи.
Настоящий учебно-методический информационный материал размещён в ознакомительных и исследовательских целях и представляет собой пример учебного исследования. Не является готовым научным трудом и требует самостоятельной переработки.
📋 Содержание
Введение 4
Постановка задачи 6
Обзор литературы 7
Глава 1. Структурные методы интегрирования 8
1.1 Классы структурных особенностей систем ОДУ 8
1.1.1 Класс A 8
1.1.2 Класс B 9
1.1.3 Класс C 10
1.1.4 Обзор моделей 11
1.2 Метод интегрирования 12
Глава 2. Схемы шестого порядка класса B 16
2.1 Условия порядка 16
2.2 Семейство схем класса B 18
2.3 Интегрирование с переменным шагом. Оценка локальной погрешности 18
2.4 Схема RKB6(4){7F} 20
Глава 3. Численное исследование моделей 22
3.1 Модель 1: точка либрации L1 22
3.2 Модель 2: орбита Аренсторфа 23
3.3 Результаты моделирования 24
Выводы 28
Заключение 29
Список литературы 30
Список рисунков 33
Список таблиц 34
Приложение А. Семейство методов шестого порядка класса B 35
Приложение Б. Текст программы ode46b 40
Постановка задачи 6
Обзор литературы 7
Глава 1. Структурные методы интегрирования 8
1.1 Классы структурных особенностей систем ОДУ 8
1.1.1 Класс A 8
1.1.2 Класс B 9
1.1.3 Класс C 10
1.1.4 Обзор моделей 11
1.2 Метод интегрирования 12
Глава 2. Схемы шестого порядка класса B 16
2.1 Условия порядка 16
2.2 Семейство схем класса B 18
2.3 Интегрирование с переменным шагом. Оценка локальной погрешности 18
2.4 Схема RKB6(4){7F} 20
Глава 3. Численное исследование моделей 22
3.1 Модель 1: точка либрации L1 22
3.2 Модель 2: орбита Аренсторфа 23
3.3 Результаты моделирования 24
Выводы 28
Заключение 29
Список литературы 30
Список рисунков 33
Список таблиц 34
Приложение А. Семейство методов шестого порядка класса B 35
Приложение Б. Текст программы ode46b 40
📖 Аннотация
Работа посвящена разработке экономичных схем численного интегрирования для структурно разделённых систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Актуальность исследования обусловлена фундаментальными ограничениями классических методов Рунге—Кутты высокого порядка, известными как барьеры Бутчера, которые делают их вычислительно затратными, и потребностью в эффективных алгоритмах для моделирования сложных динамических систем, таких как задачи небесной механики. В рамках методологии в работе представлено параметрическое семейство шестиэтапных явных методов шестого порядка, относящихся к классу B структурно разделённых систем, и на его основе получена конкретная расчётная схема RKB6(4){7F}. Данная схема демонстрирует экономичность за счёт меньшего количества вычислений правой части системы по сравнению с существующими аналогами при сохранении высокого порядка точности. На базе разработанного метода создана функция ode46b с автоматическим выбором шага, которая при том же количестве этапов, что и широко используемый интегратор ode45, обеспечивает на один порядок точности выше. Практическая значимость результатов подтверждена численным исследованием на моделях механики, включая задачу о движении в окрестности точки либрации и орбиту Аренсторфа, где продемонстрирована эффективность предложенного подхода. Таким образом, разработанные схемы и программная реализация могут быть непосредственно использованы исследователями и инженерами для высокоточного и экономичного моделирования динамических систем в астрономии, космодинамике и смежных областях.
📖 Введение
Системы дифференциальных уравнений являются одним из основных способов математического моделирования. Математическое описание сложных динамических процессов, протекающих в окружающем мире, зачастую приводит к системам, не имеющим аналитического решения. Кроме того, в некоторых задачах (например, в линейных СОДУ большого размера) вывод точного решения может оказаться сопряжён с трудозатратными вычислениями, и получение приближённого решения с некоторой желаемой точностью будет более оправданным. Поэтому численные методы решения систем дифференциальных уравнений всегда будут необходимым инструментом математического моделирования.
В начале XX века немецкий математик Карл Рунге разработал теорию графических численных методов, показав, как с помощью простейших инженерных инструментов на бумаге производить построения, аналогичные сложным математическим операциям вплоть до приближённого интегрирования скалярных дифференциальных уравнений [1]. Развитие вычислительной техники привело к тому, что теория Рунге оказалась не нужна, однако предложенные им идеи привели к созданию явных одношаговых методов Рунге—Кутты, позволявших получать приближённое решение вплоть до четвёртого порядка точности при сравнительно небольших трудозатратах: для точности порядка р требовалось р вычислений правой части СОДУ (р-этапные методы одношаговые методы, р 6 4).
Технологический рывок середины XX века принёс новые возможности ЭВМ и вместе с тем предъявил новые требования к точности численного интегрирования. Безрезультатные годы поиска пятиэтапных методов пятого порядка завершились разработкой теории Джона Бутчера, систематизировавшего процесс нахождения методов Рунге—Кутты. Бутчер показал, что для высоких порядков существуют ограничения («барьеры Бутчера»): при р > 5 методы р-ого порядка требуют не менее р +1 вычисление правой части СОДУ [2], а при р > 7 — не менее р + 2 [3; 4]. Эти ограничения а также трудоёмкость получения новых методов высокого порядка стали основными аргументами для поиска альтернатив классическим методам типа Рунге—Кутты.
Начиная с 1970-х лет наступает время бурного развития новых методов интегрирования и способов сравнения одних методов с другими. Важными свойствами становятся не только порядок точности, но также возможность автоматического управления длиной шага и устойчивость методов. Эрвин Фельберг одним из первых предложил идею вложенных методов Рунге—Кутты, позволяющих существенно экономить вычисления с помощью автоматического управления длиной шага интегрирования [5]. Благодаря этому методы Рунге— Кутты обрели новую популярность, и вскоре на их основе были созданы схемы Дж. Дорманда и П. Принса [6], одна из которых в качестве функции ode45 сейчас является основным интегратором среды MATLAB.
В начале XX века немецкий математик Карл Рунге разработал теорию графических численных методов, показав, как с помощью простейших инженерных инструментов на бумаге производить построения, аналогичные сложным математическим операциям вплоть до приближённого интегрирования скалярных дифференциальных уравнений [1]. Развитие вычислительной техники привело к тому, что теория Рунге оказалась не нужна, однако предложенные им идеи привели к созданию явных одношаговых методов Рунге—Кутты, позволявших получать приближённое решение вплоть до четвёртого порядка точности при сравнительно небольших трудозатратах: для точности порядка р требовалось р вычислений правой части СОДУ (р-этапные методы одношаговые методы, р 6 4).
Технологический рывок середины XX века принёс новые возможности ЭВМ и вместе с тем предъявил новые требования к точности численного интегрирования. Безрезультатные годы поиска пятиэтапных методов пятого порядка завершились разработкой теории Джона Бутчера, систематизировавшего процесс нахождения методов Рунге—Кутты. Бутчер показал, что для высоких порядков существуют ограничения («барьеры Бутчера»): при р > 5 методы р-ого порядка требуют не менее р +1 вычисление правой части СОДУ [2], а при р > 7 — не менее р + 2 [3; 4]. Эти ограничения а также трудоёмкость получения новых методов высокого порядка стали основными аргументами для поиска альтернатив классическим методам типа Рунге—Кутты.
Начиная с 1970-х лет наступает время бурного развития новых методов интегрирования и способов сравнения одних методов с другими. Важными свойствами становятся не только порядок точности, но также возможность автоматического управления длиной шага и устойчивость методов. Эрвин Фельберг одним из первых предложил идею вложенных методов Рунге—Кутты, позволяющих существенно экономить вычисления с помощью автоматического управления длиной шага интегрирования [5]. Благодаря этому методы Рунге— Кутты обрели новую популярность, и вскоре на их основе были созданы схемы Дж. Дорманда и П. Принса [6], одна из которых в качестве функции ode45 сейчас является основным интегратором среды MATLAB.
✅ Заключение
1. В работе в явном виде представлено семипараметрическое семейство шестиэтапных методов шестого порядка класса B.
2. При фиксированных значениях параметров представлена расчётная схема численного интегрированияа RKB6(4){7F}. Найденная схемы экономичны в плане меньшего количества вычислений правой части СОДУ по сравнению с уже существующими методами.
3. На базе расчётной схемы создана функция, аналогичная встроенному интегратору MATLAB ode45 в части автоматического выбора шага. При том же количестве этапов представленная функция ode46b имеет на один порядок точности больше.
4. Проведено численное исследование различных моделей механики с помощью полученных методов численного интегрирования. Продемонстрирована эффективность в сравнении с известными классическими методами, в том числе с ode45.
2. При фиксированных значениях параметров представлена расчётная схема численного интегрированияа RKB6(4){7F}. Найденная схемы экономичны в плане меньшего количества вычислений правой части СОДУ по сравнению с уже существующими методами.
3. На базе расчётной схемы создана функция, аналогичная встроенному интегратору MATLAB ode45 в части автоматического выбора шага. При том же количестве этапов представленная функция ode46b имеет на один порядок точности больше.
4. Проведено численное исследование различных моделей механики с помощью полученных методов численного интегрирования. Продемонстрирована эффективность в сравнении с известными классическими методами, в том числе с ode45.
ИЛИ
Поиск аналога
📕 Список литературы
🖼 Скриншоты
🛒 Оформить заказ
⚡ Работу высылаем в течении 5 минут после оплаты.