📄Работа №125962
Тема: Надгруппы некоторых подсистемных подгрупп в группах Шевалле над кольцами
Характеристики работы
Тип работы
Дипломные работы, ВКР
Предмет
Математика
Объем:
28 листов
Год:
2019
Просмотров:
109
4800
руб.
🛒 Купить работу
Не подходит эта работа?
Закажите новую по вашим требованиям
Узнать цену на написание
Закажите новую по вашим требованиям
Представленный материал является образцом учебного исследования, примером структуры и содержания учебного исследования по заявленной теме. Размещён исключительно в информационных и ознакомительных целях.
Workspay.ru оказывает информационные услуги по сбору, обработке и структурированию материалов в соответствии с требованиями заказчика.
Размещение материала не означает публикацию произведения впервые и не предполагает передачу исключительных авторских прав третьим лицам.
Материал не предназначен для дословной сдачи в образовательные организации и требует самостоятельной переработки с соблюдением законодательства Российской Федерации об авторском праве и принципов академической добросовестности.
Авторские права на исходные материалы принадлежат их законным правообладателям. В случае возникновения вопросов, связанных с размещённым материалом, просим направить обращение через форму обратной связи.
Настоящий учебно-методический информационный материал размещён в ознакомительных и исследовательских целях и представляет собой пример учебного исследования. Не является готовым научным трудом и требует самостоятельной переработки.
📋 Содержание
Аннотация 4
1. Введение 4
2. Основные обозначения 5
2.1. Системы корней и группы Шевалле 5
2.2. Аффинные схемы 6
2.3. Гомоморфизм редукции и конгруэнц подгруппы 6
2.4. Параболические подгруппы 6
2.5. Комбинаторное условие 7
2.6. Теоретико-групповые обозначения 7
2.7. Сети идеалов 7
2.8. Алгебры Ли 8
2.9. Сетевые подгруппы 9
3. Формулировка основного результата 9
4. Пересечение с U'a 1 а2 10
5. Тандемы 10
6. Битандемы 13
7. Случай поля 15
8. Лемма о редукции 16
9. Сведение к локальным кольцам с нильпотентным максимальным идеалом 16
10. Сведение к полям 17
11. Доказательство теоремы 21
12. От абстрактного к конкретному 21
13. Надгруппы 4А1 в D4 24
Список литературы 27
1. Введение 4
2. Основные обозначения 5
2.1. Системы корней и группы Шевалле 5
2.2. Аффинные схемы 6
2.3. Гомоморфизм редукции и конгруэнц подгруппы 6
2.4. Параболические подгруппы 6
2.5. Комбинаторное условие 7
2.6. Теоретико-групповые обозначения 7
2.7. Сети идеалов 7
2.8. Алгебры Ли 8
2.9. Сетевые подгруппы 9
3. Формулировка основного результата 9
4. Пересечение с U'a 1 а2 10
5. Тандемы 10
6. Битандемы 13
7. Случай поля 15
8. Лемма о редукции 16
9. Сведение к локальным кольцам с нильпотентным максимальным идеалом 16
10. Сведение к полям 17
11. Доказательство теоремы 21
12. От абстрактного к конкретному 21
13. Надгруппы 4А1 в D4 24
Список литературы 27
📖 Аннотация
Работа посвящена исследованию надгрупп подсистемных подгрупп в исключительных группах Шевалле над коммутативными кольцами. Актуальность исследования обусловлена необходимостью завершения классификации таких надгрупп, начатой в более ранних работах для классических групп, где принципиальным новшеством является использование для извлечения элементарных корневых элементов подсистем типа 2A1 вместо традиционно применяемых неприводимых подсистем более высокого ранга. Методологически исследование опирается на теорию групп Шевалле и комбинаторику систем корней, а ключевым результатом является доказательство того, что решётка всех надгрупп разбивается в дизъюнктное объединение так называемых «сэндвичей», которые находятся во взаимно-однозначном соответствии с сетями идеалов базового кольца. Полученное описание подтверждает гипотезу о sandwich-классификации для данного класса подгрупп. Практическая значимость результатов заключается в их применении в структурной теории групп Ли и алгебраических групп, а также в теории представлений, где они могут быть использованы для решения задач о подгруппах и их решётках. Результаты работы вносят вклад в общую программу по описанию подгрупп групп Шевалле, продолжая цикл исследований, посвящённых аналогичным задачам для полной линейной, ортогональной, симплектической и унитарной групп.
📖 Введение
В настоящей работе мы изучаем надгруппы подсистемных подгрупп в исключительных группах. Принципиальным отличием от всех предшествующих работ является то, что для извлечения элементарных корневых элементов мы используем подсистему типа 2Щ. Во всех предшествующих работах эту роль выполняли неприводимые подсистемы ранга не меньше 2.
Чтобы поместить результаты настоящей работы в контекст, напомним основные имеющиеся на данный момент результаты.
• В работах [4], [1], [2], [3], [6], [14] изучаются надгруппы (элементарных) подсистемных подгрупп в полной линейной группе. В этом случае подсистемные подгруппы — это группы блочно-диагональных матриц.
• В работе [7] эти результаты были обобщены на случай ортогональных и сим- плектических групп в предположении 2 G R*. Затем в диссертации Александра Щеголева [24] это предположение было снято, а также решена задача для унитарных групп (см. также [18] и [19]).
• Случай полной линейной группы допускает некоторые обобщения на некоммутативные (но удовлетворяющие какому-то другому условию) кольца. Этому посвящены работы [13], [16] и [9].
• Задача описания надгрупп подсистемных подгрупп в исключительных группах (над коммутативным кольцом) была поставлена в работе [10] (проблема 7). Первым шагом в решении этой задачи служит работа [11], в которой перечислены пары (Ф, Д), для которых стандартное описание гипотетически возможно, а также для каждой из них найдены количество идеалов, определяющих уровень, и соотношения между ними.
• В работе [12] мною было получено единообразное решение данной задачи для подсистем Ai-1 6 Di, D5 6 Е6 и Е6 6 Е7. Это в точности случаи, в которых подсистемная подгруппа является подгруппой Леви, и соответствующий унипотентный радикал абелев.
• Отметим также, что результат работы [15] описывающий надгруппы F4 в Е6 хоть и не является частным случаем нашей задачи, но тесно с ней связан.
Напомним, как обычно выглядит ответ в задачах, похожих на нашу.
Пусть L — решетка подгрупп абстрактной группы G, обладающих некоторым свойством. Говорят, что L удовлетворяет sandwich classification, если она разбивается в дизъюнктное объединение ’’сэндвичей”
L = [J L(Fi,Ni'), i
L(Fi,Ni) = {H: Fi 6 H 6 Ni},
где i пробегает некоторое множество индексов. Причем Fi нормально в Ni. Изучение таких решеток сводится к изучению факторгрупп Ni/Fi. Гипотезы, выдвинутые в работе [11], утверждают, что в группах Шевалле решетки подгрупп, содержащих элементарную подсистемную подгруппу для достаточно большой подсистемы, удовлетворяют sandwich classification для определенных Fi и N. Такие теоремы также называются стандартным описанием.
Однако, (по крайней мере) для случаев, когда подсистема имеет неприводимую компоненту типа А1, формулировки гипотез в работе [11] следует модифицировать, так как иначе из них бы следовала нормальность элементарной подгруппы в SL(2, R), что не всегда верно.
Основной результат настоящей работы похож на sandwich classification, но подгруппа Fi , вообще говоря, не будет нормальна в Ni .
Работа [8] посвящена А2 доказательству структурных теорем, то есть доказательству использующему элемент вида ха(^}х^(С,), где (а,!3) = 2^, для попадания в па- раболичекую подгруппу. Наш метод доказательства частично основан на замечании после доказательства основной леммы работы [8], согласно которому, для попадания в параболическую подгруппу можно использовать элемент вида ха(^)х^(£), где (а,Р) = . Такой способ будет называться 2Д1-доказательством, и он позволяет изучать надгруппы подсистемных подгрупп для подсистем типа пЛ1.
Чтобы поместить результаты настоящей работы в контекст, напомним основные имеющиеся на данный момент результаты.
• В работах [4], [1], [2], [3], [6], [14] изучаются надгруппы (элементарных) подсистемных подгрупп в полной линейной группе. В этом случае подсистемные подгруппы — это группы блочно-диагональных матриц.
• В работе [7] эти результаты были обобщены на случай ортогональных и сим- плектических групп в предположении 2 G R*. Затем в диссертации Александра Щеголева [24] это предположение было снято, а также решена задача для унитарных групп (см. также [18] и [19]).
• Случай полной линейной группы допускает некоторые обобщения на некоммутативные (но удовлетворяющие какому-то другому условию) кольца. Этому посвящены работы [13], [16] и [9].
• Задача описания надгрупп подсистемных подгрупп в исключительных группах (над коммутативным кольцом) была поставлена в работе [10] (проблема 7). Первым шагом в решении этой задачи служит работа [11], в которой перечислены пары (Ф, Д), для которых стандартное описание гипотетически возможно, а также для каждой из них найдены количество идеалов, определяющих уровень, и соотношения между ними.
• В работе [12] мною было получено единообразное решение данной задачи для подсистем Ai-1 6 Di, D5 6 Е6 и Е6 6 Е7. Это в точности случаи, в которых подсистемная подгруппа является подгруппой Леви, и соответствующий унипотентный радикал абелев.
• Отметим также, что результат работы [15] описывающий надгруппы F4 в Е6 хоть и не является частным случаем нашей задачи, но тесно с ней связан.
Напомним, как обычно выглядит ответ в задачах, похожих на нашу.
Пусть L — решетка подгрупп абстрактной группы G, обладающих некоторым свойством. Говорят, что L удовлетворяет sandwich classification, если она разбивается в дизъюнктное объединение ’’сэндвичей”
L = [J L(Fi,Ni'), i
L(Fi,Ni) = {H: Fi 6 H 6 Ni},
где i пробегает некоторое множество индексов. Причем Fi нормально в Ni. Изучение таких решеток сводится к изучению факторгрупп Ni/Fi. Гипотезы, выдвинутые в работе [11], утверждают, что в группах Шевалле решетки подгрупп, содержащих элементарную подсистемную подгруппу для достаточно большой подсистемы, удовлетворяют sandwich classification для определенных Fi и N. Такие теоремы также называются стандартным описанием.
Однако, (по крайней мере) для случаев, когда подсистема имеет неприводимую компоненту типа А1, формулировки гипотез в работе [11] следует модифицировать, так как иначе из них бы следовала нормальность элементарной подгруппы в SL(2, R), что не всегда верно.
Основной результат настоящей работы похож на sandwich classification, но подгруппа Fi , вообще говоря, не будет нормальна в Ni .
Работа [8] посвящена А2 доказательству структурных теорем, то есть доказательству использующему элемент вида ха(^}х^(С,), где (а,!3) = 2^, для попадания в па- раболичекую подгруппу. Наш метод доказательства частично основан на замечании после доказательства основной леммы работы [8], согласно которому, для попадания в параболическую подгруппу можно использовать элемент вида ха(^)х^(£), где (а,Р) = . Такой способ будет называться 2Д1-доказательством, и он позволяет изучать надгруппы подсистемных подгрупп для подсистем типа пЛ1.
✅ Заключение
В работе описаны надгруппы подсистемной подгруппы в группе Шевалле над коммутативным кольцом. Доказано, что решётка надгрупп разбивается в дизъюнктное объединение «сэндвичей», которые находятся во взаимно-однозначном соответствии с сетями идеалов кольца.
ИЛИ
Поиск аналога
📕 Список литературы
🖼 Скриншоты
🛒 Оформить заказ
⚡ Работу высылаем в течении 5 минут после оплаты.