📄Работа №125845
Тема: Применение сплайнов для решения уравнения теплопроводности и распараллеливание
Характеристики работы
Тип работы
Дипломные работы, ВКР
Предмет
Программирование
Объем:
41 листов
Год:
2017
Просмотров:
77
4650
руб.
🛒 Купить работу
Не подходит эта работа?
Закажите новую по вашим требованиям
Узнать цену на написание
Закажите новую по вашим требованиям
Представленный материал является образцом учебного исследования, примером структуры и содержания учебного исследования по заявленной теме. Размещён исключительно в информационных и ознакомительных целях.
Workspay.ru оказывает информационные услуги по сбору, обработке и структурированию материалов в соответствии с требованиями заказчика.
Размещение материала не означает публикацию произведения впервые и не предполагает передачу исключительных авторских прав третьим лицам.
Материал не предназначен для дословной сдачи в образовательные организации и требует самостоятельной переработки с соблюдением законодательства Российской Федерации об авторском праве и принципов академической добросовестности.
Авторские права на исходные материалы принадлежат их законным правообладателям. В случае возникновения вопросов, связанных с размещённым материалом, просим направить обращение через форму обратной связи.
Настоящий учебно-методический информационный материал размещён в ознакомительных и исследовательских целях и представляет собой пример учебного исследования. Не является готовым научным трудом и требует самостоятельной переработки.
📋 Содержание
1 Введение 2
2 Цель работы 3
3 Аппроксимация сплайнами 4
4 Явная схема метода сеток 7
5 Распараллеливание 9
6 Модельные задачи 11
7 Методы, использованные для получения и анализа результатов 12
8 Результаты 15
8.1 Результаты первой модельной задачи 15
8.2 Результаты второй модельной задачи 16
8.3 Результаты третьей модельной задачи 27
9 Заключение 38
Список источников 39
2 Цель работы 3
3 Аппроксимация сплайнами 4
4 Явная схема метода сеток 7
5 Распараллеливание 9
6 Модельные задачи 11
7 Методы, использованные для получения и анализа результатов 12
8 Результаты 15
8.1 Результаты первой модельной задачи 15
8.2 Результаты второй модельной задачи 16
8.3 Результаты третьей модельной задачи 27
9 Заключение 38
Список источников 39
📖 Аннотация
Работа посвящена исследованию применения сплайновой аппроксимации в численном решении краевой задачи для уравнения теплопроводности и оценке эффективности распараллеливания соответствующих алгоритмов. Актуальность обусловлена вычислительной сложностью получения точных решений параболических уравнений, особенно на детальных сетках, что требует поиска эффективных алгоритмов, пригодных для параллельных вычислений. Методологической основой является явная схема метода сеток, в которой производные аппроксимируются с использованием полиномиальных квадратичных и тригонометрических сплайнов; вычислительные алгоритмы реализованы в последовательном и параллельном вариантах с применением технологии OpenMP. В результате проведенного анализа установлено, что алгоритм с полиномиальным сплайном выполняется быстрее, однако распараллеливание дает больший выигрыш в скорости для варианта с тригонометрическим сплайном; при этом полиномиальный сплайн демонстрирует меньшую погрешность на сравнительно крупной сетке, тогда как тригонометрический обладает лучшей сходимостью при измельчении сетки и более точно аппроксимирует решение вблизи границ области. Практическая значимость результатов заключается в возможности их использования при разработке эффективного программного обеспечения для моделирования процессов теплопереноса и решения родственных задач математической физики в научных и инженерных расчетах. Обзор литературы включает исследования по теории уравнений в частных производных, классическим численным методам, теории сплайнов и параллельному программированию. Таким образом, комбинирование сплайновых методов с параллельными вычислениями позволяет существенно сократить время решения уравнения теплопроводности без потери точности, что подтверждается результатами вычислительного эксперимента.
📖 Введение
В данной работе рассматривается уравнение теплопроводности с двумя независимыми переменными
du partial2u
partialt partialx2
где u = u(x,t) — искомая функция переменных x и t. Это уравнение — линейное дифференциальное уравнение второго порядка параболического типа. Далее рассматривается задача отыскания решений уравнения, определенных в замкнутом прямоугольнике плоскости
Q = {(x,t) : a < x leq b, 0 leq t leq T}
Дифференциальное уравнение имеет бесконечно много решений. Для того, чтобы из этого множества выделить одно решение, надо задать дополнительную информацию об искомом решении. Обычно такая информация задается в виде начального условия
u(x, 0) = u0(x)
и краевых условий
u(a,t) = psii(t),u(b,t) = psi2(t). (3)
Уравнение теплопроводности является наиболее простым из уравнений параболического типа (см. [1], [2], [3]). Несмотря на простоту уравнения (1), его решение также является достаточно трудоёмким, особенно в случаях, когда необходима большая точность. К тому же, опыт, полученный при работе с данным уравнением, вероятно, можно перенести и на другие параболические уравнения. Обычно в вычислительных методах для этих целях применяется метод сеток [4], [5] и разностные формулы для аппроксимации производных. В этой работе будут рассмотрены несколько разных подходов к этому методу, в том числе с использованием сплайнов [6], а также то, как распараллеливание влияет на скорость вычислений [7]. Наша задача — сократить время вычислений, применяя аппарат распараллеливания OpenMP.
du partial2u
partialt partialx2
где u = u(x,t) — искомая функция переменных x и t. Это уравнение — линейное дифференциальное уравнение второго порядка параболического типа. Далее рассматривается задача отыскания решений уравнения, определенных в замкнутом прямоугольнике плоскости
Q = {(x,t) : a < x leq b, 0 leq t leq T}
Дифференциальное уравнение имеет бесконечно много решений. Для того, чтобы из этого множества выделить одно решение, надо задать дополнительную информацию об искомом решении. Обычно такая информация задается в виде начального условия
u(x, 0) = u0(x)
и краевых условий
u(a,t) = psii(t),u(b,t) = psi2(t). (3)
Уравнение теплопроводности является наиболее простым из уравнений параболического типа (см. [1], [2], [3]). Несмотря на простоту уравнения (1), его решение также является достаточно трудоёмким, особенно в случаях, когда необходима большая точность. К тому же, опыт, полученный при работе с данным уравнением, вероятно, можно перенести и на другие параболические уравнения. Обычно в вычислительных методах для этих целях применяется метод сеток [4], [5] и разностные формулы для аппроксимации производных. В этой работе будут рассмотрены несколько разных подходов к этому методу, в том числе с использованием сплайнов [6], а также то, как распараллеливание влияет на скорость вычислений [7]. Наша задача — сократить время вычислений, применяя аппарат распараллеливания OpenMP.
✅ Заключение
В данной работе были рассмотрены полиномиальные квадратичные и тригонометрические сплайны, получены формулы для второй производной.
Была реализована два алгоритма явной схемы метода сеток в трех вариантах: последовательном и двух параллельных.
Были получены и проанализированы данные о времени работы алгоритмов, их сходимости и аппроксимации решения.
Из полученных результатов можно сделать вывод, что алгоритм с полиномиальной производной работает быстрее. Но ускорение при распараллеливании более эффективно в алгоритме с тригонометрическим сплайном.
Погрешность на сравнительно крупной сетке у полиномиального варианта меньше, но у тригонометрического алгоритма лучшая сходимость, и при измельчении сетки тригонометрический сплайн начинает лучше аппроксимировать решение. При этом, вблизи границ области сплайновая аппроксимация решения работает лучше по сравнению с полиномиальной, нежели в центре области.
Была реализована два алгоритма явной схемы метода сеток в трех вариантах: последовательном и двух параллельных.
Были получены и проанализированы данные о времени работы алгоритмов, их сходимости и аппроксимации решения.
Из полученных результатов можно сделать вывод, что алгоритм с полиномиальной производной работает быстрее. Но ускорение при распараллеливании более эффективно в алгоритме с тригонометрическим сплайном.
Погрешность на сравнительно крупной сетке у полиномиального варианта меньше, но у тригонометрического алгоритма лучшая сходимость, и при измельчении сетки тригонометрический сплайн начинает лучше аппроксимировать решение. При этом, вблизи границ области сплайновая аппроксимация решения работает лучше по сравнению с полиномиальной, нежели в центре области.
ИЛИ
Поиск аналога
📕 Список литературы
🖼 Скриншоты
🛒 Оформить заказ
⚡ Работу высылаем в течении 5 минут после оплаты.